Topic về Bất Đẳng Thức (3)
 

Chào các bạn,

Như đã thấy, Topic về Bất Đẳng Thức cũ đã khá nhiều nên mình cắt thành topic thứ 3. Hy vọng các bạn sẽ tuân thủ đúng nội quy nêu ra sau đây:

1. Đánh số thứ tự bài:

Người post bài mới phải đánh số thứ tự. Bài đầu tiên sẽ được đánh số 1, và cứ thế các bài đề nghị tiếp theo sẽ được đánh số kế tiếp.

-------------------------------------------------------
2. Không post chen ngang:

KHÔNG có những comments rác chen ngan.
Post lời giải bài cũ trước khi post đề mới.

--------------------------------------------------------

3. Và tất nhiên, mỗi post đều phải được đánh Latex rõ ràng.

Những bài viết không đạt yêu cầu, đều bị xóa không báo trước.

Mong mọi người hãy tuân thủ để tạo nên Topic Bất Đẳng Thức này đẹp và hấp dẫn hơn.

Xin cảm ơn.

Mình mở đầu bằng bài toán sau. :D
Bài 1: Cho $ a,b,c \ge 0 $ thỏa $ a+b+c+abc=4 $.Chứng minh rằng:
$$ ab+bc+ca \le a+b+c $$

Từ điều kiện bài toán thì tồn tại 3 số $x,y,z$ sao cho
$a=\dfrac{2x}{y+z},b=\dfrac{2y}{x+z},c=\dfrac{2z}{ x+y}$
Thay vào cái cần chứng minh phá tung ra quy đồng nhân chéo ta được bđt
$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
BĐT này là Schur quen thuộc.

Bài 2:
Cho các số dương $a, b, c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{a^2-a+1}+\dfrac{1}{b^2-b+1}+\dfrac{1}{c^2-c+1} \le 3$$

Bđt cần CM tương đương với
$\frac{4}{3}-\frac{1}{a^{2}-a+1}+\frac{4}{3}-\frac{1}{b^{2}-b+1}+\frac{4}{3}-\frac{1}{c^{2}-c+1}\geq 1 $
$\Leftrightarrow \sum \frac{(2a-1)^{2}}{3(a^{2}-a+1)}\geq 1 $
Theo CS
$\sum \frac{(2a-1)^{2}}{3(a^{2}-a+1)}\geq \frac{[2(a+b+c)-3)]^{2}}{3[a^{2}+b^{2}+c^{2}-(a+b+c)+3]} $ $\geq 1 $
Nên cần CM $(a+b+c)^{2}+6(ab+bc+ac)\geq 9(a+b+c) $
Tới đây chắc đơn giản

Bài 3
Cho $a,b,c,d >0, \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}+ \frac{1}{d}=4 $
Chứng minh rằng:

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức
\[\sqrt[3]{{\frac{{{a^3} + {b^3}}}{2}}} \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{a + b}} \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^4}\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) \ge 0 \mbox{ (hiển nhiên đúng)}.\]
Suy ra
\[\sum {\sqrt[3]{{\frac{{{a^3} + {b^3}}}{2}}}} \le \sum {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{a + b}}}. \]
Ta có
\[2\sum {a} - \sum {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{a + b}} = 2\sum {\frac{1}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}}} } \ge 2.\frac{{{4^2}}}{{\sum {\frac{1}{a}} }} = 4.\]
Do đó
\[\sum {\sqrt[3]{{\frac{{{a^3} + {b^3}}}{2}}}} \le \sum {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{a + b}}} \le 2\sum a - 4. \mbox{ (điều phải chứng minh)}\]
Bài 4 (Vô địch Mĩ 2011).
Với $a, b, c$ là các số thực dương thỏa ${a^2} + {b^2} + {c^2} + {\left( {a + b + c} \right)^2} \le 4$, chứng minh rằng
\[\frac{{ab + 1}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{{bc + 1}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{ca + 1}}{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}} \ge 3.\]

Ta có:
$\dfrac{ab+1}{(a+b)^2} \geq \dfrac{ab+\dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{2}}{(a+b)^2 }=\dfrac{(a+b)^2+(a+c)(b+c)}{2(a+b)^1}=\dfrac{1}{2 }+\dfrac{(a+c)(b+c)}{2(a+b)^2}$
Tương tự với $\dfrac{{bc + 1}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} $ và
$\dfrac{{ca + 1}}{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}}$
$\Rightarrow VT\geq \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}.(\dfrac{(a+b)(a+c)}{(b+c )^2}+\dfrac{(b+c)(b+a)}{(a+c)^2}+\dfrac{(c+a)(c+b) }{(a+b)^2}\geq 3$
Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Từ giả thiết ta suy ra $$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\le 2$$
Do đó ta đi chứng minh BĐT mạnh hơn là
$$\frac{2ab+\sum a^2+\sum ab}{(a + b)^2}+\frac{2bc+\sum a^2+\sum ab}{(b+c)^2}+\frac{2ca+\sum a^2+\sum ab}{(c+a)^2}\ge 6$$
$$\Leftrightarrow \sum \frac{(a+b)^2+(c+a)(c+b)}{(a + b)^2}\ge 6$$
$$\Leftrightarrow \frac{(c+a)(c+b)}{(a+b)^2}+\frac{(a+b)(a+c)}{(b+c) ^2}+\frac{(b+c)(b+a)}{(c+a)^2}\ge 3$$
Theo BĐT $AM-GM$ ta dễ có điều này!

Mình xin góp vui 1 bài:
Bài 5: Cho $a,b,c$ là các số không âm và $a+b+c=1.$ Chứng minh rằng
$$\frac{1}{2-3ab}+\frac{1}{2-3bc}+\frac{1}{2-3ca}\le \frac{9}{5}$$

$A=\frac{1}{2-3ab}+\frac{1}{2-3bc}+\frac{1}{2-3ac} = \frac{\sum (2-3bc)(2-3ac)}{(2-3ab)(2-3bc)(2-3ac)} $
Ta thấy bất đẳng thức trên nằm trong dạng $f(abc,ab+bc+ca,a+b+c) $.

Suy ra max của hàm trên đạt được khi có 2 số bằng nhau, giả sử $a=b=x. $
$A=\frac{1}{2-3x^2}+\frac{2}{2-3xc} $
Cùng với điều kiện $2x+c=1 \Leftrightarrow c=1-2x $, thế vào $A $ ta được:
$A=\frac{1}{2-3x^2}+\frac{2}{2-3x(1-2x)} $
$A'=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{3} $
Với $x=\frac{1}{3} $thì $A''<0. $
Suy ra $A $ đạt cực đại tại $x= \frac{1}{3} $ hay $a=b=c=\frac{1}{3} $ và $\max A =\frac{9}{5} $.

Đây chính là phương pháp đánh giá tích bạn down về tham khảo
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Bài 6 : Cho $a,b \in \mathbb{R} $. Tìm Max :

Từ giả thiết $a+b+c+abc=4$ hay $p+r=4$ suy ra $3 \le p \le 4$. Ta cần chứng minh $ q \le p.$

Theo bất đẳng thức Schur thì $p^3+9r \ge 4pq$. Ta sẽ chứng minh $4p^2 \ge p^3+9r$.

Thật vậy, thay $r=4-p$ vào ta thu được bất đẳng thức luôn đúng:
$$4p^2 \ge p^3 +9(4-p)\Leftrightarrow (p-3)(p+3)(4-p) \ge 0.$$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hoặc $a=0, b=c=2$ và các hoán vị.

Bài 7 Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca} \ge \dfrac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$$

TA có:
$$\frac{1}{1+ab}=1-\frac{ab}{1+ab}\geq 1-\frac{\sqrt{ab}}{2}$$
$$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\geq 3-\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}{2}=3-\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2-a-b-c}{4}$$
Ta cần chứng minh: $$\frac{15}{4}-\frac{(\sum \sqrt{a})^2}{4}\geq \frac{9}{2(\sum \sqrt{a})}$$
Đặt $t=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Để ý rằng $$\sqrt{a+b+c}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq \sqrt{3(a+b+c)}$$
Nên $\Rightarrow \sqrt{3}<t\leq 3$ bất đẳng thức được viết lại thành
$$\frac{15}{4}-\frac{t^2}{4}\geq \frac{9}{2t}\Leftrightarrow (t-3)(t-\frac{\sqrt{33}-\sqrt{3}}{2})(t+\frac{\sqrt{33}-\sqrt{3}}{2})\leq 0$$
Dễ thấy $\sqrt{3}>\frac{\sqrt{33}-\sqrt{3}}{2}$ nên đánh giá đúng với $t \in (\sqrt{3};3]$
Phép chứng minh hoàn tất $\blacksquare$
------------------------------
Bài 8: Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa $a+b=2$. Chứng minh rằng: $$\large {a^{a+ab}b^{b+ab}\geq 1}$$

Ta cần chứng minh bất đẳng thức tương đương: $lna.(a+ab)+lnb(b+ba) \geq 0 \Leftrightarrow lna.a.(3-a)+lnb.b.(3-b) \geq 0 $.
Không mất tính tổng quát, giả sử $a \geq 1 $.
Ta có $b=2-a \leq \frac{1}{a} \Rightarrow ln(2-a) \leq -lna. $.
$\Rightarrow lna.a.(3-a)+lnb.b.(3-b) \geq lna.b.(3-b)+lna.a.(3-a)=lna.(2a-2) \geq 0 $, đpcm.