Phương pháp quy nạp toán học
 

Xin mời các bạn dùng phương pháp quy nạp chứng minh:

1. Với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng:
$\frac{n^3}{3}+\frac{n^5}{5}+\frac{7n}{15} $ là số nguyên.

2.Với mọi số nguyên dương n>=2 đều có thể phân tích được thành tích các số nguyên tố.

3.Với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng:

Ta chứng minh:

$3n^5 + 5n^3+ 7n \vdots 15 \forall n \in N* $(1)

(1) đúng với n=1.
Giả sử (1) đúng với $n=k k\in N* $ tức là:

$3k^5 + 5k^3 + 7k \vdots 15 $

Ta cần chứng minh (1) đúng với $n=k+1 $, tức là phải chứng minh:

$3(k+1)^5 + 5(k+1)^3 + 7(k+1) \vdots 15 $

Mà :
$3(k+1)^5 + 5(k+1)^3 + 7(k+1) - (3k^5 + 5k^3 + 7k) \\ =3( (k+1)^4 + k(k+1)^3 + k^2(k+1)^2 + k^3(k+1) + k^4 ) + 5((k+1)^2 + k(k+1) + k^2 ) + 7 \\ = 15 k^4 + 30k^3 + 45k^2 + 30k+ 15 \vdots 15 $

$--> 3(k+1)^5 + 5(k+1)^3 + 7(k+1) \vdots 15 $

Vậy (1) đúng với mọi $n \in N* $


------------------------------
$n=1 $ đúng.
Giả sử $n=k $ đúng.
CM đúng với $n=k+1 $

$3^{k+1}+7^{k+1} - 2 = 3.(3^k+ 7^k -2) + 4.(7^k + 1) \vdots 8 $ do $7^k+1 \vdots 2 $

Bổ sung thêm phương pháp quy nạp toán học:

Bài1.Chứng minh rằng với mọi số nguyên n>=0 .Ta có:
$1+2^{4n+2}+3^{4n+2}+4^{4n+2}+5^{4n+2}+6^{4n+2} $ chia hết 13

Bài2.Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n.Ta có:
$2^{2^{n}}+3^{2^{n}}+5^{2^{n}} $ chia hết 19

Giải một bài toán cũng dùng phương pháp quy nạp.
So sánh hai số A & B biết
A=$(2010^{2010}+2011^{2010})^{2011} $
và
B=$(2010^{2011}+2011^{2011})^{2010} $

Đúng với n=1.
Giả sử đúng với n=k
Chứng minh đúng với n=k+1.
Tức là cần chứng minh:

$ 1+ 2^4. 2^{4k+2}+ 3^4.3^{4k+2} + 4^4.4^{4k+2}+5^4. 5^{5k+2} + 6^4.6^{4k+2} \vdots 13 $

hay cần chứng minh:

$1+ 3. 2^{4k+2}+ 3.3^{4k+2} + 9.4^{4k+2}+5^{5k+2} +9.6^{4k+2} \vdots 13 $

Kết hợp giả thiết quy nạp ta cần chứng minh:

$2^{4k+2}+ 3^{4k+2} + 4^{4k+2}+6^{4k+2} \vdots 13 $

mà ta lại có:
$2^{4k+2}+ 3^{4k+2} + 4^{4k+2}+6^{4k+2} \\ = (2^{4k+2}+1)(2^{4k+2}+3^{4k+2}) = (2^{4k+2}+1)(4^{2k+1}+9^{2k+1}) \vdots (9+4) = 13 $
------------------------------
Đúng với n=1.
Giả sử đúng với n=k
Chứng minh đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh:
$4^{2^{k}}+9^{2^{k}}+25^{2^{k}} \vdots 19 $

Ta có: $\begin{cases} 4^{2^{k}} \equiv 15^{2^k}(mod 19) \\ 9^{2^{k}} \equiv 10^{2^k}(mod 19) \\ 25^{2^k} \equiv 6^{2^{k}}(mod 19) \end{cases} $

Bình phương giả thiết quy nạp + điều trên ta có điều phải chứng minh :)

Mời các bạn chứng minh PP quy nạp toán học (tiếp)

Bài 1: Cho dãy Fibonaci cho bởi : $f_1=f_2=1,f_{n+2}=f_n + f_{n+1} $.CMR với mỗi số tự nhiên n, ta có:
$f_1+f_3+...+f_{2n-1}=f_{2n} $.

Bài 2:Cho dãy Fibonaci cho bởi : $f_1=f_2=1,f_{n+2}=f_n + f_{n+1} $CMR với mỗi số tự nhiên n, ta có:
$f_2+f_4+...+f_{2n}=f_{2n+1}-1 $.

n=1 đúng.
giả sử đúng với n=k
TA cần chứng minh đúng với n=k+1

$f_{2k+2} = f_{2k}+f_{2k+1} = f_1+f_3+...+f_{2k-1}+f_{2k+1} $

Vậy CT luôn đúng.

Bài 2:
n=1 đúng.
Giả sử n=k đúng.
CM đúng với n=k+1.

$f_{2n+3}-1 = f_{2n+1}-1 + f_{2n+2} = f_2+f_4+...+f_{2n} + f_{2n+2} $

Vậy CT luôn đúng

Chứng minh quy nạp
Bài 1:Cho dãy Fibonacci : $f_0=0,f_1=1,f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1} $.CMR $f_{n} $ chia hết 2 khi và chỉ khi n chia hết 3

Bài 2: CM với mọi số n nguyên dương ta có:
$1+(\frac{1+\sqrt{17}} {2})^{2^n}+(\frac{1-\sqrt{17}} {2})^{2^n} $ chia hết 5
Bài 3: vội quá post sau

$f_{n+3}=f_{n+2}+f_{n+1}=f_{n+1}+f_{n}+f_{n+1}=2f_{ n+1}+f_{n} $
Từ đó suy ra $f_{n+3} \equiv f_{n} \pmod{2} $
$\Rightarrow f_{3k} \vdots 2,f_{3k \pm 1} \not\vdots \, 2 $

Mời các bạn chứng minh bài toán sau theo pp quy nạp:

Cho các số nguyên không âm a,b,c,d,e,f.CM Rằng mọi số nguyên dương n>=5 đều có thể biểu diễn dưới dạng:
n=a+2b+5c+10d+20e+50f.

Sao bài này diễn đàn chúng ta chưa có ai giải vậy?=p~

Vì bài toán được phát biểu không rõ ràng.

Nếu a, b, c, d, e, f cho trước thì đề không đúng. Còn nếu a, b, c, d, e, f phải tìm thì kết luận là hiển nhiên: chọn a = n, b = c = d = e = f = 0.

Vâng bài toán này em khái quát hóa rút ra từ 1 câu hỏi thực tế mà đời sống chúng ta hay gặp.
Đó là ở cây ATM thường có các loại tiền 10 nghin,20 nghìn,50 nghìn,100 nghìn,200 nghìn và 500 nghìn. mỗi lần số tiền được rút ít nhất là 50 nghìn máy mới hoạt động. câu hỏi đặt ra 1 người muốn rú bất kì số tiền nào >=50 nghìn máy đều đáp ứng được .
Và em muốn thông qua toán học chúng ta cũng có thể chứng minh được với số n đủ lớn bất kì đều có biểu diễn qua được số tờ tiền cho phép.
Mong các thành viên có thể khái quát hóa bài toán này đúng theo tinh thần quy nạp và giải quyết bài toán..