Chứng minh bất đẳng thức Cho a,b,c > 0 và a+b+c=3 CmR : $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(4-\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{c^{2}}) $ |
Trích:
Trích:
$\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\ge3a $. Làm tương tự 2 cái còn lại, cộng lại, ta được $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+a^2+b^2+c^2\ge 3(a+b+c)=(a+b+c)^2 $ Lại có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca $. Từ đây dễ dàng suy ra điều phải chứng minh. $\hfill \Box $ Trích:
$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a +b+c}{abc}=\dfrac{3}{abc} $. Ta cần chứng minh $abc(a^2+b^2+c^2) $. Áp dụng AM-GM và bất đẳng thức quen thuộc $3abc(a+b+c)\le(ab+bc+ca)^2 $ $abc(a^2+b^2+c^2)\le\dfrac{(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2 )}{9}\le\dfrac{1}{9}(\dfrac{ab+bc+ca+ab+bc+ca+a^2+ b^2+c^2}{3})^3=3 $. Ta có điều phải chứng minh.$\hfill \Box $ Trở lại với bài toán ban đầu. Áp dụng 2 bất đẳng thức vừa mới chứng minh. Ta có $(a^2+b^2+c^2)(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac {1}{c^2})+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge(a^2+b^2+c^ 2)^2+ab+bc+ca $ Đặt $x=a^2+b^2+c^2 $, khi đó dễ dàng có $x\ge 3 $ và $ab+bc+ca=\dfrac{9-x}{2} $. Như vậy ta chỉ cần chứng minh $x^2+\dfrac{9-x}{2}\ge 4x $ Tương đương với $(x-3)(2x-3)\ge 0 $ (đúng do $x\ge 3 $). Ta có điều phải chứng minh. $\hfill \Box $ |
Trích:
|
Các mở rộng cho BDT này: Cho 3 số $a,b,c>0 $ thỏa mãn $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3} \ge a^3+b^3+c^3 $ $\frac{1}{a^5}+\frac{1}{b^5}+\frac{1}{c^5} \ge a^5+b^5+c^5 $ Mời anh em=p~ |
Múi giờ GMT. Hiện tại là 01:49 AM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.