Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Đại Số/Algebra (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=12)
-   -   Nhóm con S_n (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=51983)

sieunhanbachtang 19-01-2019 08:22 AM

Nhóm con S_n
 
CMR: Nhóm đối xứng $S_n$ không chứa nhóm con có index >2 và <$n$

anysu 20-02-2019 10:42 PM

Xét $n\geq 5$
Ta chứng minh $A_n$ là nhóm con chuẩn tắc thực sự duy nhất của $S_n$. Giả sử $H$ là một nhóm con chuẩn tắc của $S_n$, khi đó $A_n\cap H$ là nhóm con chuẩn tắc của $A_n$, mà $A_n$ đơn nên hoặc $A_n\cap H=A_n$ (dẫn tới $H=A_n$) hoặc $A_n\cap H=\{e\}$ ( dẫn tới $H=\{e\}$ hoặc $H$ sẽ chứa hoán vị chẵn khác $e$, vô lý)
Do đó ta có đpcm.
Áp dụng vào bài toán, theo định lí Caley, tồn tại $f\in Hom (S_n,S_t)$ với $Kerf \leq H$. Khi đó $f$ không thể là đơn cấu do $t<n$ hay $Kerf\ne \{e\}$ và $Kerf$ là nhóm con chuẩn tắc của $S_n$ nên $Kerf=A_n$, từ đó $t=2$ (vô lý)


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:57 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2019, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 3.48 k/3.71 k (6.21%)]