Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Lý Thuyết Số (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=40)
-   -   JBMO TST Romani 2015 (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=51987)

zinxinh 05-02-2019 06:55 PM

JBMO TST Romani 2015
 
Bài toán 5 :Tìm các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn $4^{a}5^{b}-3^{c}11^{d}=1$

zinxinh 07-02-2019 06:45 AM

Ta có $3^{c}11^{d}=4^{a}5^{b}-1=5^{b}-1=0(\mod 3)$ .Nên b=2x $3^{c}11^{d}=4^{a}5^{2x}-1=(2^{a}5^{x}-1)(2^{a}5^{x}+1)$ .Nhưng
$(2^{a}5^{x}+1)-(2^{a}5^{x}-1)=2$.Do đó hai số $(2^{a}5^{x}+1)$ và$(2^{a}5^{x}-1)$ một số là lũy thừa của 3 ,một số là lũy thừa 11
Ta có $(2^{a}5^{x}+1)+(2^{a}5^{x}-1)=2^{a+1}5^{x}=3^{c}+11^{d}$ chia hết cho 10.Vì $11^{d}$ có số tận cùng là 1 nên $3^{c}$ tận cùng là 9 do đó
c=4k+2
Khi $a\geq 2$ thì $(2^{a}5^{x}+1)$ chia 4 dư 1 còn $(2^{a}5^{x}-1)$ chia 4 dư 3.Chỉ có khả năng là $2^{a}5^{x}+1=3^{4k+2}=9^{2k+1}$
$2^{a}5^{x}=9^{2k+1}-1=(9^{2k+1}+1)-2 $ không chia hết cho 5 (vô lý)
Vậy a=1,$(2.5^{x}-1)$ chia 4 dư 1 => $2.5^{x}-1=9^{2k+1}$ và $2.5^{x}+1=11^{d}=11^{2y+1}$

zinxinh 08-02-2019 07:28 PM

Nếu $x\geq 2$=>$d\geq 2$ Ta có $2.5^{x}=11^{d}-1=(10+1)^{d}-1=10^{d}+...+\frac{d(d-1)}{2}10^2+10d$ chia hết 25 nên d chia hết cho 5. Do đó $2.5^{x}=11^{d}-1$ chia hết $11^{5}-1$ là điều vô lý.Vậy x<2
=>x=1,d=1=>(a,b,c,d)=(1,2,2,1)


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:43 AM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2019, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 4.19 k/4.47 k (6.19%)]