Cũng như là chứng minh $x^4 + y^4 =z^2 (1) $ không có nghiệm nguyên dương nguyên tố cùng nhau ạ?

Bạn có thể tham khảo lời giải sau
Giả sử (x_0; y_0;z_0) là nghiệm nguyên dương của phương trình(1) mà $x_{0}^4 +y_{0}^4 $ min. Ta có $x_{0}^4 + y_{0}^4=z_{0}^4 $trong đó $UCLN (x_0 , y_0, z_0)=1. $
Bộ số $(x_{0}^2; y_{0}^2 ; z_0) $ nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn phương trình pythagore nên tồn tại các số nguyên dương m,n nguyên tố cùng nhau, chẵn lẻ khác nhau, m >n sao cho
$\begin{cases} x_{0}^2 =2mn (chan) \\ y_{0}^2 =m^2-n^2 ( le) \\ z_0 =m^2+n^2 ( le) \end{cases} $
Ta có $y_{0}^2 =m^2-n^2 $ nên $y_{0}^2 + n^2 =m^2 $
Vậy bộ số $(y_0;n;m) $ thỏa mãn phương trình pythagore
Do m,n nguyên tố cùng nhau nên $y_0;n;m $ nguyên tố cùng nhau. Ở phương trình pythagore trong hai số $y_0 $ và n có một số chẵn , một số lẻ. Do $y_0 $ lẻ nên n chẵn
Bộ số $(y_0; n; m) $ nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn phương trình pythagore nên tồn tại nguyên dương a;b nguyên tố cùng nhau chẵn lẻ khác nhau a>b sao cho
$\begin{cases} y_0 = a^2-b^2 ( le) \\ n=2ab( chan) \\m=a^2+b^2 ( le) \end{cases} $
Ta có $x_{0}^2 =2mn=2(a^2+b^2).2ab=4ab(a^2+b^2) $
Do đó $ab(a^2+b^2) $ là số chính phương . Dễ dàng chứng minh được ab và $a^2 + b^2 $ nguyên tố cùng nhau nên ab và $a^2+b^2 $ đều là số chính phương. Vậy tồn tại các số nguyên dương $x_1; y_1;z_1 $ sao cho $a=x_{1}^2; b=y_{1}^2; a^2+b^2=z_{1}^2 $
$\Rightarrow x_{1}^4 + y_{1}^4 =(x_{1}^2)^2 + (y_{1}^2)^2 =a^2+b^2=z_{1}^2 $
Do a;b nguyên tố cùng nhau nên $x_1; y_1 $ nguyên tố cùng nhau, do đó $x_1; y_1; z_1 $nguyên tố cùng nhau
ta có $(x_0; y_0; z_0) $ và $(x_1;y_1;z_1) $ đều là nghiệm của pt (1)
Lại có $x_{1}^4 +y_{1}^4 =a^2+b^2 =m < m^2+n^2 =z_0 < z_{0}^2 =x_{0}^4 + y_{0}^4 $
Ta đã giả sử $(x_0; y^0;z_0) $ là nghiệm của (1) mà $x_{0}^{4}+y_{0}^{4} $ nhỏ nhất, ta lại có $(x_1;y_1;z_1) $ cũng là nghiệm của (1) mà $x_{1}^{4} + y_{1}^{4} < x_{0}^{4} +y_{0}^{4} $
Điều trên không thể xảy ra , chứng tỏ pt (1) ko có nghiệm nguyên dương