Topic về hệ phương trình
 

Chào các bạn!. Hệ phương trình luôn là một dạng toán hay , nó không khó nhưng đòi hỏi tính chặt chẽ trong các phương trình của hệ, khi ta giải một bài hệ phương trình nào đó thì có rất nhiều hướng đi hiện lên trong đầu ta! Còn có những bài hệ khi ta nhìn vào thì tưởng rằng rất dễ nhưng ẩn chứa trong đó là điều gì đó rất khó và thú vị. Nay mình xin phép mọi người và các Mod, Amind cho mình lập ra một topic này để cùng trao dồi thêm kinh nghiệm khi giải hệ phương trình:

Sau đây là một số bài mình sưu tầm được và tương đối bình thường . Mong mọi người đóng góp thêm lời giải và một số hệ hay cho mọi người tham khảo. Xin cám ơn:


Bài 1: $\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + y^2 = 5 \\
x^5 + y^5 = 11(x + y) \\
\end{array} \right
$


Bài 2: $\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + y^2 + xy = 3 \\
x^2 + 2xy = 7x + 5y - 9 \\
\end{array} \right
$


Bài 3: $\left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \\
z = \frac{{2y}}{{y^2 + 1}} \\
x = \frac{{2z}}{{z^2 + 1}} \\
\end{array} \right
$


Bài 4: $\left\{ \begin{array}{l}
\left| {xy - 4} \right| = 8 \\
xy = 2x^2 \\
\end{array} \right
$

Bài 3: $\left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \\
z = \frac{{2y}}{{y^2 + 1}} \\
x = \frac{{2z}}{{z^2 + 1}} \\
\end{array} \right
$
Mình giải thử bài 3 nha B-)
Xét 2 trường hợp:
1. $x,y,z=0 $thỏa mãn nghiệm hệ. Vậy hệ có nghiệm $x=y=z=0 $
2. Nếu ít nhất 1 số khác 0,từ pt thứ 3 suy ra $x>0 $suy ra $y,z>0 $
Nhân cả 3 vế lại với nhau ta có: $\frac{8x^2y^2z^2}{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)}=xyz $$\Leftrightarrow $$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)=8xyz $
Lại có $1+x^2\geq2x, 1+y^2\geq2y, 1+z^2\geq2z $ $\Rightarrow $$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)\geq8xyz $
Dấu''='' xảy ra khi $x=y=z=1 $
Vậy hệ có nghiệm $(0;0;0), (1;1;1) $

Bài 1
Ta có $(I)HPT\Leftrightarrow \begin{cases}
& x^2+y^2=5 \\
& (x+y)[(x^2+y^2)^2-x^2y^2-xy(x^2+y^2)-11]=0
\end{cases} $
Bằng phép thế dễ có $(I)\Leftrightarrow \begin{cases}
& x^2+y^2=5 \\
&(x+y)(xy-2)(xy+7)=0
\end{cases} $

Bạn xem lại đề bài 4 cái !?

Bài 2:
Cộng vế với vế của hệ pt rối viết về pt tích
(2x+y-3)(x+y-2)= 0

$\[\left\{ \begin{array}{l}
\left| {xy - 4} \right| = 8\\
xy = 2{x^2}
\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
xy = 12\\
xy = - 4
\end{array} \right.\\
2{x^2} = xy
\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xy = 12\\
{x^2} = 6
\end{array} \right. $
$\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt 6 \\
y = 2\sqrt 6
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = - \sqrt 6 \\
y = - 2\sqrt 6
\end{array} \right.
\end{array} \right.\] $

Bạn xem lại đi Bài này làm chưa ổn. Ít nhất là thiếu nghiệm $(-1;-1;-1) $

Sửa cách của bạn

Nhân 3 pt của hệ có
$xyz=\frac{8xyz}{(x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1)} $

$\Rightarrow x=0 $thì $y=z=0 $ TH$ y=0 $ hoặc$ z=0 $ tương tự thì chỉ có nghiệm (0;0;0)
Nếu $(x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1)=8(*) $
Dễ thấy x;y;z cùng dấu nếu$ (x;y;z) $ là nghiêm thì (-x;-y;-z) cũng là nghiệm vậy ta chỉ TH $x,y,z>0 $
Từ $x^2+1 \geq 2|x|=2x $
Nên$y=\frac{2x}{x^2+1} \le 1 $

tương tự $x;z \le 1 $
$VT(*) \le 8 $
Dấu $"=" $ xảy ra khi $x=y=z=1 $
Do đó $(-1;-1;-1) $ cũng là nghiệm

Bài 5:
$\left\{ \begin{array}{l}
xy=x^2+y^2\\
(x+1)^4+(1-y)^4=1\\
\end{array} \right $

Mình xin lỗi về bài 4
xin sửa lại là :
phuơng trình của hệ đầu là y-8

Nhầm lẫn gì không nhỉ :-?

Từ (1) suy ra : $x=y=0 \| \ \ (x-\frac12y)^2 + \frac34y^2 = 0 $

Thế vào (2) không thỏa ---> Vô nghiệm
------------------------------
$\fbox{Bai 7} \\ \left\{ \begin{matrix}a(a+b)= 3 \\ b(b+c)=30 \\ c(c+a) = 12 \end{matrix} \right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x^2 + xy = 3 -y^2\\
x^2 + x(2y-7 )= 5y - 9 \\
\end{array} \right $

đặt $t=x^2 $

hệ trở thành $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t + xy = 3 -y^2\\
t + x(2y-7 )= 5y - 9 \\
\end{array} \right $

ta có
$D=y-7 $

$D_t=-2y^3+2y^2+15y-21 $

$D_x=y^2+5y-12 $

nhận thấy y=7 không phải là nghiệm
xét y khác 7
suy ra
$t=\frac{D_t}{D}=\frac{-2y^3+2y^2+15y-21}{y-7} $

$x=\frac{D_x}{D}=\frac{y^2+5y-12}{y-7} $

mà $t=x^2 $
suy ra
$\frac{-2y^3+2y^2+15y-21}{y-7}=[\frac{y^2+5y-12}{y-7}]^2 $

$=\Rightarrow y=1 \vee y=-1 $ thữ lại vào trên là kết thúc ...

Bài 8

$\left\{ \begin{matrix} x^4-y^4=\dfrac{121x-122y}{4xy} \\ x^4+14x^2y^2+y^4=\dfrac{122x+121y}{x^2+y^2} \end{matrix} $

$\[\left\{ \begin{array}{l}
x = X + 1\\
y = Y + 1
\end{array} \right.\] $
Ta có :
$\[\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {X + Y} \right)^2} + 3\left( {X + Y} \right) - XY = 0\\
{X^2} - 3\left( {X + Y} \right) + XY = 0
\end{array} \right.\] $
Suy ra:
$\[2{X^2} + 3XY + {Y^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
X = - \frac{Y}{2}\\
X = - Y
\end{array} \right.\] $

Từ các phương trình suy ra x, y, z >0 là chưa đúng, chỉ suy được chúng<1/2

Ở đây sử dụng nhận xét nếu (x;y;z) là nghiệm thì (-x;-y;-z) cũng là nghiệm thì ta đc quyền giả sử x,y,z ko âm rồi tìm nghiệm giả sử ra đc nghiệm là (1;1;1) và (2;0;1) thì KL hệ có 4 nghiệm là (1;1;1);(-1;-1;-1);(2;0;1);(-2;0;-1)
Sau đó giải như persian

Bài 3: $\left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \\
z = \frac{{2y}}{{y^2 + 1}} \\
x = \frac{{2z}}{{z^2 + 1}} \\
\end{array} \right
$
Mình giải thử cách 2 nha :)
Từ hệ đã cho suy ra $x\geq0, y\geq0, z\geq0 $
Ta có BĐT $\frac{2x}{1+x^2}\leq1 $
$\Rightarrow y=\frac{2x^2}{1+x^2}=x.\frac{2x}{1+x^2}\leq x} $ (1)
Tương tự $z\leq y, x\leq z $ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow x=y=z $
Từ đó ta có $x=\frac{2x^2}{1+x^2}\Leftrightarrow x=0 $ hoặc $x=1 $
Vậy hệ có nghiệm $(0;0;0), (1;1;1) $