Topic về hệ phương trình Chào các bạn!. Hệ phương trình luôn là một dạng toán hay , nó không khó nhưng đòi hỏi tính chặt chẽ trong các phương trình của hệ, khi ta giải một bài hệ phương trình nào đó thì có rất nhiều hướng đi hiện lên trong đầu ta! Còn có những bài hệ khi ta nhìn vào thì tưởng rằng rất dễ nhưng ẩn chứa trong đó là điều gì đó rất khó và thú vị. Nay mình xin phép mọi người và các Mod, Amind cho mình lập ra một topic này để cùng trao dồi thêm kinh nghiệm khi giải hệ phương trình: Sau đây là một số bài mình sưu tầm được và tương đối bình thường . Mong mọi người đóng góp thêm lời giải và một số hệ hay cho mọi người tham khảo. Xin cám ơn: Bài 1: $\left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 5 \\ x^5 + y^5 = 11(x + y) \\ \end{array} \right $ Bài 2: $\left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 + xy = 3 \\ x^2 + 2xy = 7x + 5y - 9 \\ \end{array} \right $ Bài 3: $\left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \\ z = \frac{{2y}}{{y^2 + 1}} \\ x = \frac{{2z}}{{z^2 + 1}} \\ \end{array} \right $ Bài 4: $\left\{ \begin{array}{l} \left| {xy - 4} \right| = 8 \\ xy = 2x^2 \\ \end{array} \right $ |
Bài 3: $\left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \\ z = \frac{{2y}}{{y^2 + 1}} \\ x = \frac{{2z}}{{z^2 + 1}} \\ \end{array} \right $ Mình giải thử bài 3 nha B-) Xét 2 trường hợp: 1. $x,y,z=0 $thỏa mãn nghiệm hệ. Vậy hệ có nghiệm $x=y=z=0 $ 2. Nếu ít nhất 1 số khác 0,từ pt thứ 3 suy ra $x>0 $suy ra $y,z>0 $ Nhân cả 3 vế lại với nhau ta có: $\frac{8x^2y^2z^2}{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)}=xyz $$\Leftrightarrow $$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)=8xyz $ Lại có $1+x^2\geq2x, 1+y^2\geq2y, 1+z^2\geq2z $ $\Rightarrow $$(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)\geq8xyz $ Dấu''='' xảy ra khi $x=y=z=1 $ Vậy hệ có nghiệm $(0;0;0), (1;1;1) $ |
Bài 1 Ta có $(I)HPT\Leftrightarrow \begin{cases} & x^2+y^2=5 \\ & (x+y)[(x^2+y^2)^2-x^2y^2-xy(x^2+y^2)-11]=0 \end{cases} $ Bằng phép thế dễ có $(I)\Leftrightarrow \begin{cases} & x^2+y^2=5 \\ &(x+y)(xy-2)(xy+7)=0 \end{cases} $ Bạn xem lại đề bài 4 cái !? |
Bài 2: Cộng vế với vế của hệ pt rối viết về pt tích (2x+y-3)(x+y-2)= 0 |
Trích:
$\[\left\{ \begin{array}{l} \left| {xy - 4} \right| = 8\\ xy = 2{x^2} \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} xy = 12\\ xy = - 4 \end{array} \right.\\ 2{x^2} = xy \end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy = 12\\ {x^2} = 6 \end{array} \right. $ $\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt 6 \\ y = 2\sqrt 6 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = - \sqrt 6 \\ y = - 2\sqrt 6 \end{array} \right. \end{array} \right.\] $ |
Trích:
|
Trích:
Nhân 3 pt của hệ có $xyz=\frac{8xyz}{(x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1)} $ $\Rightarrow x=0 $thì $y=z=0 $ TH$ y=0 $ hoặc$ z=0 $ tương tự thì chỉ có nghiệm (0;0;0) Nếu $(x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1)=8(*) $ Dễ thấy x;y;z cùng dấu nếu$ (x;y;z) $ là nghiêm thì (-x;-y;-z) cũng là nghiệm vậy ta chỉ TH $x,y,z>0 $ Từ $x^2+1 \geq 2|x|=2x $ Nên$y=\frac{2x}{x^2+1} \le 1 $ tương tự $x;z \le 1 $ $VT(*) \le 8 $ Dấu $"=" $ xảy ra khi $x=y=z=1 $ Do đó $(-1;-1;-1) $ cũng là nghiệm |
Bài 5: $\left\{ \begin{array}{l} xy=x^2+y^2\\ (x+1)^4+(1-y)^4=1\\ \end{array} \right $ Mình xin lỗi về bài 4 xin sửa lại là : phuơng trình của hệ đầu là y-8 |
Trích:
Từ (1) suy ra : $x=y=0 \| \ \ (x-\frac12y)^2 + \frac34y^2 = 0 $ Thế vào (2) không thỏa ---> Vô nghiệm ------------------------------ $\fbox{Bai 7} \\ \left\{ \begin{matrix}a(a+b)= 3 \\ b(b+c)=30 \\ c(c+a) = 12 \end{matrix} \right. $ |
Trích:
x^2 + xy = 3 -y^2\\ x^2 + x(2y-7 )= 5y - 9 \\ \end{array} \right $ đặt $t=x^2 $ hệ trở thành $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t + xy = 3 -y^2\\ t + x(2y-7 )= 5y - 9 \\ \end{array} \right $ ta có $D=y-7 $ $D_t=-2y^3+2y^2+15y-21 $ $D_x=y^2+5y-12 $ nhận thấy y=7 không phải là nghiệm xét y khác 7 suy ra $t=\frac{D_t}{D}=\frac{-2y^3+2y^2+15y-21}{y-7} $ $x=\frac{D_x}{D}=\frac{y^2+5y-12}{y-7} $ mà $t=x^2 $ suy ra $\frac{-2y^3+2y^2+15y-21}{y-7}=[\frac{y^2+5y-12}{y-7}]^2 $ $=\Rightarrow y=1 \vee y=-1 $ thữ lại vào trên là kết thúc ... |
Bài 8 $\left\{ \begin{matrix} x^4-y^4=\dfrac{121x-122y}{4xy} \\ x^4+14x^2y^2+y^4=\dfrac{122x+121y}{x^2+y^2} \end{matrix} $ |
Trích:
x = X + 1\\ y = Y + 1 \end{array} \right.\] $ Ta có : $\[\left\{ \begin{array}{l} {\left( {X + Y} \right)^2} + 3\left( {X + Y} \right) - XY = 0\\ {X^2} - 3\left( {X + Y} \right) + XY = 0 \end{array} \right.\] $ Suy ra: $\[2{X^2} + 3XY + {Y^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} X = - \frac{Y}{2}\\ X = - Y \end{array} \right.\] $ |
Trích:
|
Trích:
Sau đó giải như persian |
Bài 3: $\left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \\ z = \frac{{2y}}{{y^2 + 1}} \\ x = \frac{{2z}}{{z^2 + 1}} \\ \end{array} \right $ Mình giải thử cách 2 nha :) Từ hệ đã cho suy ra $x\geq0, y\geq0, z\geq0 $ Ta có BĐT $\frac{2x}{1+x^2}\leq1 $ $\Rightarrow y=\frac{2x^2}{1+x^2}=x.\frac{2x}{1+x^2}\leq x} $ (1) Tương tự $z\leq y, x\leq z $ (2) Từ (1) và (2) $\Rightarrow x=y=z $ Từ đó ta có $x=\frac{2x^2}{1+x^2}\Leftrightarrow x=0 $ hoặc $x=1 $ Vậy hệ có nghiệm $(0;0;0), (1;1;1) $ |
Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:10 PM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.