Bất Đẳng Thức cho 4 số không âm
 

Cho a,b,c,d là các số thực không âm, Chứng minh rằng :
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 1 + abcd \ge ab + bc + cd + da + ac + bd $
Proposed by Alex Anderson, New Trier Township High School, Winnetka, USA

ta có
$ \sum a^{2}\geq \sum ab $
điều cần cm tương đương

$1+abcd\geq ac+bd $
$\Leftrightarrow (1-ac)(1-bd)\geq 0 $
TH1
$a,b,c,d\in [0;1] $
thì bđt trên đúng
TH2
$a,b,c,d\in [1;+\propto ] $
bđt tương đương
$(ac-1)(bd-1)\geq 0 $
vẩn đúng
suy ra đccm

thế còn TH $a,c,\in [1;+\propto ] $ còn $b,d\in [0;1] $ thì sao bạn :D

Bạn xét còn thiếu nhiều trường hợp. Phản ví dụ: $a=c=0.5;b=1;d=2 $

:-??:-??T_TT_TT_T
đau thật,quả là thiếu nhiều quá :redeye::redeye:

theo tui đặt a=x+1, b=y+1,c=z+1,d=t+1...rồi bung nó ra cuối cùng ta được $x^2+y^2+z^2+t^2+xyz+xyt+xzt+yzt+xyzt \ge 0 $. rùi chia trường hợp ra làm....
từ trên ta cũng có bài toán với 3 số ko âm :$a^2 + b^2 + c^2 + 1 + 2abc \ge 2(ab + bc + ac) $
hoặc từ hai bài vừa rùi ta có thể giải bài toán.cho m>=3,n>=1,m,n đều là số tự nhiên.tìm tất cả bộ số (m,n) để bất đẳng thức sau đúng với mọi bộ m số ko âm $A_i $ (thông cảm ,hok biết đánh math)
$A_1^2 + A_2^2 + \ldots + A_m^2 + 1 + nA_1A_2 \ldots A_m \ge n(A_1A_2 + A_1A_3 + \ldots + A_{m-1}A_m) $

nếu đặt như bạn thì phải chia nhiều trường hợp lắm. x,y,z,t chạy từ -1 đến +vô cùng. TH: x,y,z,t thuộc (-1,0) thì xét thế nào bạn.
Bạn nói rõ hơn đi.:ops:

Bất đẳng thức này là một hệ qủa của bất đẳng thức Tukervici khá nổi tiếng sau :
Với các số thực không âm $x,y,z,t$ ta luôn có
$$ x^4+y^4+z^4+t^4+2xyzt \geq x^2y^2+y^2z^2+z^2t^2+t^2x^2+x^2z^2+y^2t^2.$$
Bây giờ sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $ 1+abcd \geq 2\sqrt{abcd}.$ Ta chỉ cần chứng minh
$$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2\sqrt{abcd} \ge ab + bc + cd + da + ac + bd.$$
Thay $ a,b,c,d$ bằng $x^2,y^2,z^2,t^2 $ ta thấy đây chính là bất đẳng thức Tukervici ! :d

Ta có 2 trường hợp sau:
TH1: $(a-1)(b-1)(c-1)(d-1) \geq 0 $ khi đó,không mất tính tổng quát,ta giả sử $(a-1)(b-1) \geq 0 ; (c-1)(d-1) \geq 0 $
Hay $ab+1 \geq a+b; cd+1 \geq c+d $

Nhân theo vế ta được : $abcd+1 \geq ac+ad+bc+bd-ab-cd $
Kết hợp với $a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 2ab+2cd $ ta có đpcm

TH2: $(a-1)(b-1)(c-1)(d-1) \leq 0$
Không mất tính tổng quát,ta có thể giả sử a-1;b-1;c-1 là cùng dấu và khác dấu d-1 (từ đây suy ra ab-1 và c-1 cùng dấu )
Khi đó : $ d(a-1)(b-1) \geq 0 $ hay $ abd +d \geq ad+bd$
$d(ab-1)(c-1) \geq 0 $ hay $abcd+d \geq abd+cd $
Cộng theo vế 2 bđt ta có:
$abcd + 2d \geq ad+bd+cd $

Ta cần cmr : $a^2+b^2+c^2+d^2+1 \geq ab+bc+ca+2d$ (dễ thấy)

Như vậy ta có đpcm