Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Đề Thi Tuyển Sinh Lớp 10 (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=146)
-   -   Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Sư Phạm Hà Nội năm học 2012 - 2013 (Vòng 2) (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=32352)

Ispectorgadget 07-06-2012 05:55 PM

Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Sư Phạm Hà Nội năm học 2012 - 2013 (Vòng 2)
 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO............................................. .........CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ...........................................ĐỘC LẬP-TỰ DO-HẠNH PHÚC
ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN 2012
Môn thi: TOÁN
(Dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài : 150 phút
----------------------------------------------------------------------
Câu 1 (1,5đ )
Giải phương trình :
$\sqrt{x^{2}+2x+2\sqrt{x^{2}+2x-1}}+2x^{2}+4x-4 =0$
Câu 2 (2đ)
a, Cho các số $a,b,c$ đôi một phân biệt và thỏa mãn $ a^2(b+c)=b^2(a+c)=2012$
Tính giá trị của biểu thức : $ M= c^2(a+b) $
b, Cho 5 số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số dương trong chúng không có ước số nguyên tố nào khác 2 và 3. CMR trong 5 số đó tồn tại 2 số mà tích của chúng là một số chính phương.
Câu 3 (2đ)
Cho nó số thực $ x_1 , x_2 ,...., x_n $ với $n\geq 3$. Ký hiệu max{$x_1,x_2,...,x_n$} là số lớn nhất trong các số $x_{1},x_{2},...,x_n$. CMR:
max{$x_{1},x_{2},...,x_n$}$\geq \frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}+\frac{\left |x_{1}-x_{2} \right |+\left | x_{2}- x_{3} \right |+....+\left | x_{n-1}-x_{n} \right |+\left | x_{n}-x_{1} \right |}{2n}$
Câu 4 ( 1,5 đ)
Trong một lớp học có 36 bàn học cá nhân, được xếp thành 4 hàng và 9 cột (các hàng được đánh số từ 1 đến 1, các cột được đánh số từ 1 đến 9 ). Sĩ số học sinh của lớp là 35. Sau một học kỳ, cô giáo chủ nhiệm xếp lại chỗ ngồi cho các bạn học sinh trong lớp. Đối với mỗi học sinh của lớp, giả sử trước khi chuyển chỗ, bạn ngồi ở bàn thuộc hàng thứ $m$, cột thứ $n$ và sau khi chuyển chỗ, bạn ngồi ở bàn thuộc hàng $a_m$, cột thứ $a_n$, ta gắn cho bạn đó số nguyên $ (a_{m} + a_n ) - (m+n)$. Chứng minh tổng của 35 số nguyên gắn với 35 bạn học sinh không vượt quá 11.
Câu 5 (3đ):
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn $\left ( O \right )$. Điểm M thuộc cung nhỏ CD của $\left ( O \right )$, M khác C và D. MA cắt DB, DC theo thứ tự tại X ,Z ; MB cắt CA, CD tại Y,T; CX cắt DY tại K.
a, CMR : góc MXT = TXC , MYZ = ZYD và góc CKD = $135^{o} $.
b, CMR :$\frac{KX}{MX}+\frac{KY}{MY}+\frac{ZT}{CD} =1$.
C, Gọi I là giao điểm của MK và CD. CMR : XT, YZ, OI cùng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KZT.



--------------------------------------Hết------------------------------------

hungqh 07-06-2012 06:05 PM

Có vẻ ít người quan tâm nhỉ. Mình mở đầu nhé.
1) $PT\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+2x-1}+2x^2+4x-3=0 $
Đặt $ \sqrt{x^{2}+2x-1}=a\geq 0 $ . Viết PT thành
$2a^2+a-1=0 $
Nên $a=0,5 $. Thay vào ta có $x^{2}+2x-1,25=0 $
Vậy $x=0,5;x=-2,5 $

tangchauphong 07-06-2012 06:10 PM

Câu 2
a)
Ta có $a^2(b+c)=b^2(c+a) $ tương đương $(a-b)(ab+ac+bc)=0 $ suy ra $ab+bc+ca=0 $.
Vậy $a^2(b+c)=a(ab+ac)=a(-bc)=2012 $
$c^2(a+b)=c(ac+bc)=c(-ab)=2012 $

hungqh 07-06-2012 06:25 PM

2)b) Gọi $x_i=2^{a_{i}}b^{a_{i}}. $Với $1\leq i\leq 5 $.
Theo dirichlet thì có ít nhất 3 số $a_{i} $ có cùng số dư khi chia cho 2. Lấy tích 3 số $x_i $ chứa 3 số $a_{i} $ này thì ta được 3 tích số có số mũ chẳn khi chia cho 2.Trong ba số $x_i $ vừa lấy có 3 số $b_i $ nên theo dirichlet có 2 số có cùng số dư khi chia cho 2. Từ đó ta có ĐPCM.

Highschoolmath 07-06-2012 06:28 PM

Bài 3 mới nghĩ, không biết có phải thế này không? :amazed:
Dễ chứng minh rằng $a+b+|a-b| = 2 max(a,b) $. Áp dụng vào bài toán:
$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}+\frac{|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+....+|x_n-x_1|}{2n} $
$=\frac{(x_1+x_2+|x_1-x_2|)+(x_2+x_3+|x_2-x_3|)+....+(x_n+x_1+|x_n-x_1|)}{2n} $
$= \frac{2max(x_1,x_2)+2max(x_2,x_3)+....+2max(x_n,x_ 1)}{2n} $
$\leq max(x_1,x_2,...,x_n) $ (đpcm). :yao::yao::yao::yao:

kien10a1 07-06-2012 06:50 PM

Câu 4 : Bài này thì cũ rồi. Ta sẽ quan tâm tới chỗ trống trong 36 chỗ. Gọi tổng của 1 bàn là tổng của hàng và cột của vị trí nó.
Dễ thấy chỗ có tổng lớn nhất là hàng 4 cột 9, chỗ nhỏ nhất có tổng là hàng 1 cột 1. Gọi 35 học sinh là $A_1,A_2,...A_{35} $ và ban đầu $A_i $ ngồi tại vị trí$(x_i;y_i) $, chỗ trống có tổng là $T_1 $.
Suy ra $\ M_1= sum_{i=1}^{35}(x_i+y_i)=\sum_{i=1}^{35}(x_i)+\sum_ {i=1}^{35}(y_=i)=S-T_1 $ với S là tổng tất cả các bàn.
Tương tự xác định $M_2=S-T_2 $
Vậy là sau khi thay đổi vị trí thì chỉ có T thay đổi.
Mà T max là 13, min là 2 như trên nên tổng các số gắn với 35 bạn học sinh là $M_2-M_1=T_1-T_2\leq 11 $

liverpool29 07-06-2012 07:18 PM

Bài 5:
$a)$ Ta có: $\dfrac{BY}{YT}=\dfrac{BC}{TC}=\dfrac{XO}{AO}= \dfrac{XO}{BO}$
Suy ra $XT \parallel OY$, suy ra $\widehat{TXC}= \widehat{XCA}= \widehat{XAC}= \widehat{ZXT}$
Suy ra $XT$ là phân giác $\widehat{ZXC}$
Tương tự, ta suy ra $YZ$ là phân giác $\widehat{TYD}$
Ta có: $\widehat{DKC}=90+\widehat{ODK}+\widehat{OCX}=90+ \widehat{XBY}+\widehat{TBC}=90+45=135$

$b)$ Ta có $\widehat{KDC}=\widehat{MDC}, \widehat{KCD}=\widehat{DCM}$, tứ giác $ZKCM,KTDM$ nội tíêp được.
Suy ra $DK=DM; CK=CM$
Suy ra $\dfrac{KX}{XM}+ \dfrac{KY}{YM}+ \dfrac{ZT}{CD}= \dfrac{ZK}{MC}+ \dfrac{KT}{DM}+ \dfrac{ZT}{CD}= \dfrac{ZM}{MC}+ \dfrac{MT}{DM}+ \dfrac{ZT}{CD}=\dfrac{DZ}{AD}+ \dfrac{TC}{BC}+ \dfrac{ZT}{CD}=1$

$c)$ Ta có: $\widehat{ZKT}=\widehat{ZMT}=45, \widehat{ZJT}=90$ với $J$ là giao của $XT,YZ$.
Suy ra $XT,YZ$ đi qua tâm của $(KZT)$
Áp dụng định lí Gauss cho tứ giác $XKYM$, suy ra trung điểm $MK,XY,$và điểm $J$ thẳng hàng, hay $I,J$ là trung điểm của $XY$ thẳng hàng. Mà $OJ$ cũng đi qua trung điểm $XY$, suy ra $I,J,O$ thẳng hàng.
Ta có đccm.

Trầm 07-06-2012 07:31 PM

1 Attachment(s)
Làm cho các bác 1 file PDF cho dễ xem, cũng xấu như cái trước :)).
Hận một điều một số trang không những lấy file không post nguồn mà còn gắn mác của mình vào :amazed:

kien10a1 07-06-2012 07:57 PM

Bài 5
c, Không biết Gauss có phải cm không, có cách này không cần dùng.
Như vậy tâm G của (KZT) đã là giao của YZ,TX. Dễ có TX song song AC, YZ song song BD nên tam giác GZT vuông cân tại G.
OG cắt CD tại I' thì $\frac{I'Z}{I'D}=\frac{I'T}{I'C} $
Lại có $\frac{IZ}{ID}=\frac{IM}{AD}=\frac{IM}{BC}=\frac{IT }{IC} $ nên $I' $ trùng $I $ và ta có ĐPCM.


Thêm bài 3 luôn: Gọi A là max. Coi $x_{n+1}=x_1 $
Nhận xét đơn giản $\left | x_i-x_{i+1} \right |\leq A-min{x_i,x_{i+1}} $
Do vậy, $\sum_{i=1}^{n}\left | x_i-x_{i+1} \right |\leq \sum_{i=1}^{n}(A-min x_i,x_{i+1})=S $
Thấy rằng trong S mỗi số hạng dạng $\left | A-x_i \right | $ sẽ xuất hiện tối đa là 2 lần( trong $A-min x_i,x_{i+1} $ hoặc $A-min x_{i-1},x_{i} $)
Do vậy $S\leq 2\sum_{i=1}^{n}(A-x_i) $

ngocson_dhsp 08-06-2012 12:01 AM

Mọi người thấy đề năm nay thế nào.liệu có nhiều điểm 9 trở lên không.hình như nhiều em thí sinh bỏ câu 3 thì phải.chắc do lạ với học sinh lớp 9

Highschoolmath 08-06-2012 12:05 AM

Trích:

Nguyên văn bởi ngocson_dhsp (Post 153918)
Mọi người thấy đề năm nay thế nào.liệu có nhiều điểm 9 trở lên không.hình như nhiều em thí sinh bỏ câu 3 thì phải.chắc do lạ với học sinh lớp 9

Uhm đề năm nay hơi lạ, cứ nghĩ trong bài sẽ có một câu Cauchy thuần túy cơ, nào ngờ nó ra cái này. Em họ của anh cũng thi, nó làm hết nhưng về anh kiểm tra thấy nó sai bài 3. :buc: :buc: :buc:

vjpd3pz41iuai 08-06-2012 10:06 AM

Đề năm nay tầm ngang cơ năm ngoái:((Nhưng đề này không có mẹo,em thấy có câu bđt là đánh vào tâm lý

Cauchy-Schwarz 08-06-2012 10:35 AM

Nếu để ý thì có thể thấy đề Sư phạm hơi đặc trưng, cách ra đề có khác một chút so vs KHTN và một số trường chuyên ở tỉnh khác. Mình thì vẫn thích đề của Sư phạm nhất!

hangel_elf 08-06-2012 05:45 PM

Tức thế.Em bỏ mất câu c bài hình.Bài 3 em chứng minh theo kiểu đặt x sau bằng x trước cộng 1 sô k(ko âm).Chả biết có chuẩn không?

Cauchy-Schwarz 08-06-2012 07:38 PM

Cứ yên tâm đi em trai! Câu c nầy được đánh giá là khó, không nhiều người làm được. Câu hình là của TS. Nguyễn minh Hà và PGS.TSKH Trần Văn Tấn ra đấy!:matrix:


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:23 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 19.87 k/20.87 k (4.80%)]