Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Các Bài Toán Đã Được Giải (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=107)
-   -   Một số bài toán tìm min, max (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=14002)

hoaxinh 19-10-2010 06:22 PM

Một số bài toán tìm min, max
 
Bài 1: Tìm min , max của:
$M = \frac{x(y+3)}{(x+y+z)^2} $

Bài 2: Cho $x, y, z \in R $ thỏa mãn $x^2 + y^2 + z^2 = 1 $
Tìm min, max của $P = x + y+ z + xy + yz + zx $

Bài 3: Tìm min, max của: y = $x + \sqrt[4]{2 - x^4} $

Bài 4: Tìm min, max của: $y = \sqrt{x} + \sqrt{2 - x} + \sqrt{2(1-\sqrt{x(2-x)}} $

Bài 5: Tìm min, max của: $y = \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{2-x} + \sqrt{x} + \sqrt{2-x} + 2\sqrt[4]{x(2-x)} $

Bài 6: Tìm min: $y = \sqrt{5+x} + \sqrt{1-x} $

Bài 7: Tìm min, max của hàm số: $y = x^2 + \mid x \mid + \mid x+1 \mid - 2 $ trên $[-2;2] $

Bài 8: Cho $a, b \geq 0. m, n \in N^* $
CMR: a) $a^{m+n} + b^{m+n} \geq \frac{1}{2}(a^m +b^m)(a^n +b^n) $
b) $\frac{a^n+b^n}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^n $
c) Với $a, b > 0 $ Chứng minh:
$\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}{2} \leq \sqrt[n]{\frac{a+b}{2}} $

magic. 19-10-2010 06:41 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hoaxinh (Post 68027)

Bài 8: Cho $a, b \geq 0. m, n \in N^* $
CMR: a) $a^{m+n} + b^{m+n} \geq \frac{1}{2}(a^m +b^m)(a^n +b^n) $
b) $\frac{a^n+b^n}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^n $
c) Với $a, b > 0 $ Chứng minh:
$\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}{2} \leq \sqrt[n]{\frac{a+b}{2}} $


------------------------------
Trích:

Nguyên văn bởi hoaxinh (Post 68027)
Bài 2: Cho $x, y, z \in R $ thỏa mãn $x^2 + y^2 + z^2 = 1 $
Tìm min, max của $P = x + y+ z + xy + yz + zx $

Max
Min

th2091 19-10-2010 06:49 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hoaxinh (Post 68027)
Bài 8: Cho $a, b \geq 0. m, n \in N^* $
CMR: a) $a^{m+n} + b^{m+n} \geq \frac{1}{2}(a^m +b^m)(a^n +b^n) $
b) $\frac{a^n+b^n}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^n $
c) Với $a, b > 0 $ Chứng minh:
$\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}{2} \leq \sqrt[n]{\frac{a+b}{2}} $

a/ bđt <=> $(a^n-b^n)(a^m-b^m)\ge0 $ đúng với mọi a,b >=0
b/ dùng quy nap
n=1 đúng
n=k>1 thì $\frac{a^k+b^k}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^k $
<=>$(\frac{a+b}{2})(\frac{a^k+b^k}{2}) \geq (\frac{a+b}{2})^{k+1} $
Mà $a^{k+1} + b^{k+1} \geq \frac{1}{2}(a^k +b^k)(a +b) $ theo a nên bđt đúng với n=k+1 =>đpcm
c/ Đặt $x=\sqrt[n]{a},y=\sqrt[n]{b} $ ta có bđt này chính là b

magic. 19-10-2010 06:56 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hoaxinh (Post 68027)

Bài 3: Tìm min, max của: y = $x + \sqrt[4]{2 - x^4} $


$Max=2 $ tại $x=1 $
$Min=1 $ tại $x=-1 $

th2091 19-10-2010 08:27 PM

Trích:

Nguyên văn bởi magic. (Post 68034)

$Max=2 $ tại $x=1 $
$Min=1 $ tại $x=-1 $

$Min =-\sqrt[4]{2} $ cơ bạn ah
$ -\sqrt[4]{2}\le x\le\sqrt[4]{2} $
=> $x\ge -\sqrt[4]{2}, \sqrt[4]{2-x^{4}}\ge 0 $
=> $VT\ge-\sqrt[4]{2} $dạt khi $x=-\sqrt[4]{2} $

Aotrang 25-10-2010 10:39 PM

Xin góp thêm 1 bài nữa
 
Tìm max của biểu thức
$P=\sin^n2x+(\sin^nx-\cos^nx)^2. $

hikimaru 26-10-2010 12:18 PM

Bài 8: Xét hàm $f(x)={x}^{n}+{(c-x)}^{n} $ trên đoạn [0,c]
suy ra f(x) đạt min tại x=$\frac{c}{2} $ suy ra dpcm

th2091 26-10-2010 09:50 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Aotrang (Post 68421)
Tìm max của biểu thức
$P=\sin^n2x+(\sin^nx-\cos^nx)^2. $

Đk của n là gì vậy?

Aotrang 29-10-2010 12:19 AM

Tất nhiên n là số nguyên dương rùi.
Hikimaru có thể làm rõ ràng hơn chút được k?
Như thế có phải ai cũng hiểu đâu.


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:17 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 12.51 k/13.55 k (7.68%)]