Dãy nguyên dừng [IMO2018P5] Cho $a_1,\,a_2,\,\ldots$ là một dãy vô hạn các số nguyên dương. Giả sử tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho\[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} + \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} + \ldots + \frac{{{a_{n - 1}}}}{{{a_n}}} + \frac{{{a_n}}}{{{a_1}}} \in \mathbb Z\quad\forall\,n\ge N.\]Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $a_{m+1}=a_m\;\forall\,m\ge M$. |
Trích:
Tóm lại là với $n\ge N$ thì nếu ${v_p}\left( {{a_n}} \right) < {v_p}\left( {{a_{n + 1}}} \right)$ sẽ có $$ {v_p}\left( {{a_n}} \right) < {v_p}\left( {{a_{n + 1}}} \right) = {v_p}\left( {{a_1}} \right),\;(*).$$ Còn nếu ${v_p}\left( {{a_n}} \right) > {v_p}\left( {{a_{n + 1}}} \right)$ thì sẽ có $${v_p}\left( {{a_1}} \right) \le {v_p}\left( {{a_{n + 1}}} \right) < {v_p}\left( {{a_n}} \right),\;(**).$$ Bây giờ với số nguyên tố $p$ tùy ý, ta xét hai trường hợp
|
Em xin góp thêm một cách. Đặt $a_{1}=a, a_{n}=b, a_{n+1}=x,a_{n+2}=x_{1},... $ với mọi $n$ lớn hơn hoặc bằng $N$. Suy ra $x|ab$, dẫn đến $\frac{b}{x}+\frac{x-b}{a}=\frac{y}{a}+\frac{x-b}{a}=m$. Ta có hệ sau: $x+y=ma+b$ $xy=ab$ Nếu $(a,b)>1$, gọi $p$ là một ước nguyên tố chung của $a,b$, thay vào hệ trên được ngay $p|x,p|y$. Vậy ta có thể chia bộ $a,b,x,y$ cho các ước nguyên tố $p$ cho đến khi $(a',b')=1$. Do đó $(a,b)|x_{n}$ với mọi $n$. Ta có: $x'+y'=ma'+b'$ $x'y'=a'b'$ Suy ra $x'|a'b'$, dẫn đến $x_{n}|[a,b]$ $(1)$ và $(a,b)|x_{n}$ Tương tự, ta cũng có $(a,x_{n})|x_{n+1}$, suy ra $(a,x_{n})|(a,x_{n+1})$, vậy: $(a,x_{n})\leq (a,x_{n+1})\leq (a,x_{n+2}) \leq (a,x_{n+2}) \leq ....$ Chứng minh tương tự $(1)$, ta cũng có: $[a,b] \geq [a,x] \geq ....\geq [a,x_{n}] \geq [a, x_{n+1}] \geq [a,x_{n+2}] \geq...$ Mà $[a,b]$ là hữu hạn nên theo $(1)$ thì tập giá trị của $x_{n}$ là hữu hạn, nhưng dãy $x_{n}$ là vô hạn nên tồn tại dãy con $x_{n_{i}}$ có tất cả các phần tử bằng nhau. Theo các nhận xét trên, suy ra: $(a,x_{n_{i}})\leq (a,x_{n_{i}+2})\leq (a,x_{n_{i}+2}) \leq ....\leq (a,x_{n_{i+1}}=(a,x_{n_{i}}))$ $[a,x_{n_{i}}] \geq [a,x_{n_{i}+1}] \geq ....\geq [a,x_{n_{i+1}}] =[a,x_{n_{i}}]$ Do đó $ax_{n_{i}}=ax_{n_{i}+1}=...=ax_{n_{i+1}}$ Dẫn đến $x_{n_{i}}=x_{n_{i}+1}=...=x_{n_{i+1}}$ Chọn $a_{M}=x_{n_{1}}$, ta có điều phải chứng minh. |
Múi giờ GMT. Hiện tại là 11:40 AM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.