Kỳ Thi Chọn HSGQG Môn Toán 2012 - Đề thi
 

Ngày mai và ngày kia : 11 và 12, VMO 2012 (Vietnamese Mathematical Olympiad 2012) sẽ diễn ra trên khắp các tỉnh thành cả nước, mọi vấn đề về đề thi VMO năm nay sẽ được thảo luận tại topic này. Anh chị em, mai ai thi về sớm, nhớ được đề thì post vào #2 của Topic này nhé !. Mong rằng VN năm nay sẽ có một mùa VMO bội thu nữa :).

P.s: Mọi người không ai được viết bài tại topic này, #2 là để cho người post đề lên. Ai vi phạm sẽ bay nick. Sẽ có một topic riêng cho kết quả và danh sách đội TST. Mọi việc chúc tụng cứ để vào [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...].
P/s 2. Ae chú ý, có chú thay đổi. Topic này sẽ chỉ chứa đề bài, link dẫn đến topic thảo luận cho từng bài, các file pdf đề thi, lời giải của MS và đáp án chính thức của Bộ. Kiểu như MathLinks. Vậy nhé :).

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2012

-------- Ngày thi thứ nhất-------------

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] (5 điểm).
Cho dãy số thực $(x_n) $ xác định bởi :
$\begin{cases}
& x_1=3\\
& x_n = \dfrac{n+2}{3n} ( x_{n-1} + 2)
\end{cases}
$
với mọi $n\geq 2 $.
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi $n\to\+\infty $ và Tính giới hạn đó.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] (5 điểm).
Cho các cấp số cộng $(a_n), \ (b_n) $ và số nguyên $m>2 $. Xét $m $ tam thức bậc hai : $P_k(x) = x^2 + a_k x + b_k ,\ k=1,2,3,....,m $ .
Chứng minh rằng nếu hai tam thức $P_1(x),\ P_m(x) $ đều không có nghiệm thực thì tất cả các đa thức còn lại cũng không có nghiệm thực.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...](5 điểm) .
Trong mặt phẳng, cho tứ giác lồi $ABCD $ nội tiếp đường tròn tâm $O $ và có các cặp cạnh đối không song song. Gọi $M,N $ tương ứng là giao điểm của các đường thẳng $AB $ và $CD $, $AD $ và $BC $. Gọi $P, Q, S, T $ tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong của các cặp $\angle MAN $ và $\angle MBN $, $\angle MBN $ và $\angle MCN $, $\angle MCN $ và$ \angle MDN $, $\angle MDN $ và $\angle MAN $. Giả sử bốn điểm $P, Q, S, T $ đôi một phân biệt.

1) Chứng minh rằng bốn điểm $P, Q, S, T $ cùng nằm trên một đường tròn. Gọi $I $ là tâm của đường tròn đó.

2) Gọi $E $ là giao điểm của các đường chéo $ AC $ và $BD $. Chứng minh rằng ba điểm $E, O, I $ thẳng hàng.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] (5 điểm) .
Cho số nguyên dương $n $. Có $n $ học sinh nam và $n $ học sinh nữ xếp thành một hàng ngang, theo thứ tự tùy ý. Mỗi học sinh (trong số $2n $ học sinh vừa nêu) được cho một số kẹo bằng đúng số cách chọn ra hai học sinh khác giới với X và đứng ở hai phía của $X $. Chứng minh rằng tổng số kẹo mà tất cả $2n $ học sinh nhận được không vượt quá $\frac{1}{3}n(n^2-1) $.

Anh em chú ý, click vào Bài $\boxed{X} $ để xem thảo luận. Cập nhật bản LatexPDF đề ngày 1. Xem file đính kèm hoặc [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...](7 điểm). Cho một nhóm gồm 5 cô gái, kí hiệu là $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5 $, và 12 chàng trai. Có 17 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã cho ngồi vào các chiếc ghế đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:
1/ Mỗi ghế có đúng một người ngồi;
2/ Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái qua phải, là $G_1, G_2, G_3, G_4, G_5 $;
3/ Giữa $G_1 $ và $G_2 $ có ít nhất 3 chàng trai;
4/ Giữa $G_4 $ và $G_5 $ có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 4 chàng trai.

Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy?

(Hai cách xếp được coi là khác nhau nếu tồn tại một chiếc ghế mà người ngồi ở chiếc ghế đó trong hai cách xếp là khác nhau).

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] (7 điểm). Xét các số tự nhiên lẻ $a,b $ mà $a $ là ước số của $b^2+2 $ và $b $ là ước số của $a^2+2 $. Chứng minh rằng $a $ và $b $ là các số hạng của dãy số tự nhiên $(v_n) $ xác định bởi

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] (6 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f $ xác định trên tập số thực $\mathbb R $, lấy giá trị trong $\mathbb R $ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1/ $f $ là toàn ánh từ $\mathbb R $ đến $\mathbb R $;

2/ $f $ là hàm số tăng trên $\mathbb R $;

3/ $f(f(x))=f(x)+12x $ với mọi số thực $x $.

Bản PDFLatex đề bài cả 2 ngày. Xem file đính kèm hoặc [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
Xem ngay :