Kỳ thi IMC 2014
 

Kỳ thi IMC 2014 diễn ra tại Blagoevgrad, Bulgaria từ 29/7 đến 4/8. Dưới đây là đề thi và đáp án, mọi người xem thử nhé.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Mình không dịch ra tiếng Việt được, các bạn xem tạm qua file gốc vậy.

Ngày 1:
Vấn đề 1: Xác định tất cả các cặp số thực $(a,b) $ sao cho tồn tại duy nhất một ma trận thực đối xứng $2 $x$2 $ $M $ thõa mãn $tr(A)=a $ và $det(A)=b $.
Vấn đề 2: Cho dãy sau:
$(a_n)_{n=1}^{\infty}=(1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4, 5,1,....) $
Tìm tất cả các cặp số thực dương $(\alpha, \beta) $ thõa mãn $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n}a_k}{n^{\alpha}}=\beta. $
Vấn đề 3: Cho số nguyên dương $n $. Chứng minh rằng luôn tồn tại các số thực dương $a_0, a_1, ..., a_n $ sao cho với mọi cách chọn dấu, đa thức sau luôn có $n $ nghiệm thực phân biệt:
$\pm a_nx^n \pm a_{n-1}x^{n-1} \pm ... \pm a_0. $
Vấn đề 4: Cho $n>6 $ là một số hoàn hảo. Ta phân tích thừa số nguyên tố của $n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}...p_k^{e_k} $ với $1<p_1<p_2<...<p_k. $ Chứng minh rằng $e_1 $ là một số chẵn.
($n $ được gọi là số hoàn hảo nếu tổng tất cả các ước của $n $ chính bằng $2n $)
Vấn đề 5: Cho $A_1A_2...A_{3n} $ là một đường gấp khúc đóng trên mặt phẳng và nó bao gồm $3n $ đoạn thẳng. Giả sử rằng không có $3 $ đỉnh nào của đường gấp khúc là thẳng hàng và với mỗi chỉ số $i=1,2,...,3n, $ góc $A_iA_{i+1}A_{i+2} $ luôn ngược chiều quay đồng hồ và có độ lớn bằng $60^o $ (quy ước $A_{3n+1}=A_1; A_{3n+2}=A_2 $). Chứng minh rằng số điểm tự cắt của đường gấp khúc này không lớn hơn $\frac{3}{2}n^2-2n+1. $

Có hai anh ở số thứ 239 và 240 được bằng khen kìa. Việt Nam.

Đề năm nay dễ hơn hẳn năm ngoái. Năm ngoái vàng là $\ge 35$, năm nay thì $\ge 60$ :sexygirl: