Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   2019 (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=189)
-   -   Đề thi IMO 2019 (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=52016)

hung.vx 16-07-2019 07:40 PM

Đề thi IMO 2019
 
Đề thi IMO 2019


Ngày thi thứ nhất (16/07/2019)


Bài 1: Đặt $ \mathbb {Z} $ là tập hợp các số nguyên. Xác định tất cả các hàm $ f: \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} $ sao cho với tất cả các số nguyên $ a $ và $ b $ thì, $$ f (2a) + 2f (b) = f (f (a + b)). $$
Bài 2: Cho tam giác $ ABC $, lấy điểm $ A_1 $ nằm trên cạnh $ BC $ và điểm $ B_1 $ nằm trên cạnh $ AC $. Lấy $ P $ và $ Q $ lần lượt là các điểm trên các đoạn $ AA_1 $ và $ BB_1 $, sao cho $ PQ $ song song với $ AB $. Lấy $ P_1 $ là một điểm trên đường $ PB_1 $, sao cho $ B_1 $ nằm giữa $ P $ và $ P_1 $ và $ \angle PP_1C = \angle BAC $. Tương tự, Lấy $ Q_1 $ là điểm trên đường $ QA_1 $, sao cho $ A_1 $ nằm giữa $ Q $ và $ Q_1 $ và $ \angle CQ_1Q = \angle CBA $. Chứng minh rằng các điểm $ P, Q, P_1 $ và $ Q_1 $ cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 3: Một mạng xã hội có $ 2019 $ người dùng với một số cặp là bạn bè. Nếu người dùng $ A $ là bạn bè với người dùng $ B $ thì người dùng $ B $ cũng là bạn bè với người dùng $ A $. Các sự kiện thuộc loại sau đây có thể xảy ra lặp đi lặp lại, từng lần một: Ba người dùng $ A $, $ B $ và $ C $ sao cho $ A $ là bạn bè với cả $ B $ và $ C $, nhưng $ B $ và $ C $ không phải là bạn bè, hãy thay đổi trạng thái tình bạn của họ sao cho $ B $ và $ C $ là bạn bè, nhưng $ A $ không còn là bạn với $ B $ và không còn là bạn với $ C $. Tất cả các trạng thái tình bạn khác là không thay đổi.
Ban đầu, có $ 1010 $ người dùng mà mỗi người dùng có đúng $ 1009 $ bạn và $ 1009 $ người dùng còn lại mà mỗi người có đúng $ 1010 $ bạn. Chứng minh rằng tồn tại một chuỗi các sự kiện như vậy mà sau đó mỗi người dùng là bạn với nhiều nhất một người dùng khác.

Bài 4: Tìm các số nguyên dương $k$ và $n$ sao cho\[k! = \left( {{2^n} - 1} \right)\left( {{2^n} - 2} \right) \ldots \left( {{2^n} - {2^{n - 1}}} \right).\]

Thụy An 16-07-2019 08:01 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hung.vx (Post 214098)
Bài 1: Đặt $ \mathbb {Z} $ là tập hợp các số nguyên. Xác định tất cả các hàm $ f: \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} $ sao cho với tất cả các số nguyên $ a $ và $ b $ thì, $$ f (2a) + 2f (b) = f (f (a + b)). $$

Từ giả thiết ta có \[\begin{array}{l}
f\left( {f\left( {a + 1} \right)} \right)& = f\left( {f\left( {0 + a + 1} \right)} \right) = f\left( 0 \right) + 2f\left( {a + 1} \right)\\
&= f\left( {\left( {1 + a} \right)} \right) = f\left( 2 \right) + 2f\left( a \right),\quad \forall {\mkern 1mu} a \in\mathbb Z.
\end{array}\]Vậy là đặt $\frac{f(2)-f(0)}{2}=d$ thì có $d$ phải là một số nguyên, và\[f\left( {a + 1} \right) = f\left( a \right) + d,\quad \forall {\mkern 1mu} a \in \mathbb Z.\]Từ đây ta truy toán để có\[f\left( a \right) = ad + f\left( 0 \right),\quad \forall {\mkern 1mu} a \in \mathbb Z.\]Do đó, hàm cần tìm có dạng $f(x)=kx+l$ với các hằng số nguyên $k,\,l$. Sau thử lại ta được $k=l=0$, hoặc $k=2$ còn $l$ thì tùy ý.

ncthanh 16-07-2019 08:29 PM

Lời giải bài 2
 
Trích:

Nguyên văn bởi hung.vx (Post 214098)
Bài 2: Cho tam giác $ ABC $, lấy điểm $ A_1 $ nằm trên cạnh $ BC $ và điểm $ B_1 $ nằm trên cạnh $ AC $. Lấy $ P $ và $ Q $ lần lượt là các điểm trên các đoạn $ AA_1 $ và $ BB_1 $, sao cho $ PQ $ song song với $ AB $. Lấy $ P_1 $ là một điểm trên đường $ PB_1 $, sao cho $ B_1 $ nằm giữa $ P $ và $ P_1 $ và $ \angle PP_1C = \angle BAC $. Tương tự, Lấy $ Q_1 $ là điểm trên đường $ QA_1 $, sao cho $ A_1 $ nằm giữa $ Q $ và $ Q_1 $ và $ \angle CQ_1Q = \angle CBA $. Chứng minh rằng các điểm $ P, Q, P_1 $ và $ Q_1 $ cùng nằm trên một đường tròn.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
Gọi $A_1Q$ giao $AC,AB$ lần lượt tại $X,Z$; $B_1P$ giao $BC,AB$ lần lượt tại $Y,T$.

Áp dụng định lí Pappus cho $(B,Y,A_1)$ và $(X,A,B_1)$ và chú ý rằng $PQ\parallel AB,$ ta thu được $XY\parallel AB.$ Ta cũng có tứ giác $AP_1CT$ nội tiếp nên $\angle P_1CA=\angle P_1TA=P_1YX$, suy ra $P_1$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $CXY.$ Tương tự, ta suy ra $Q_1$ cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $CXY$.

Ta có $\angle P_1PQ=\angle P_1YX=\angle P_1 Q_1Q$ nên bốn điểm $Q,P_1,Q_1,P$ đồng viên.

chemthan 17-07-2019 01:40 AM

Trích:

Nguyên văn bởi hung.vx (Post 214098)
Đề thi IMO 2019

Bài 3: Một mạng xã hội có $ 2019 $ người dùng với một số cặp là bạn bè. Nếu người dùng $ A $ là bạn bè với người dùng $ B $ thì người dùng $ B $ cũng là bạn bè với người dùng $ A $. Các sự kiện thuộc loại sau đây có thể xảy ra lặp đi lặp lại, từng lần một: Ba người dùng $ A $, $ B $ và $ C $ sao cho $ A $ là bạn bè với cả $ B $ và $ C $, nhưng $ B $ và $ C $ không phải là bạn bè, hãy thay đổi trạng thái tình bạn của họ sao cho $ B $ và $ C $ là bạn bè, nhưng $ A $ không còn là bạn với $ B $ và không còn là bạn với $ C $. Tất cả các trạng thái tình bạn khác là không thay đổi.
Ban đầu, có $ 1010 $ người dùng mà mỗi người dùng có đúng $ 1009 $ bạn và $ 1009 $ người dùng còn lại mà mỗi người có đúng $ 1010 $ bạn. Chứng minh rằng tồn tại một chuỗi các sự kiện như vậy mà sau đó mỗi người dùng là bạn với nhiều nhất một người dùng khác.

Trước hết ta chỉ chuyển trạng thái mà số thành phần liên thông của đồ thị không thay đổi. Xét trạng thái mà tại đó không thể chuyển tiếp trạng thái mà giữ nguyên số thành phần liên thông. Nếu tồn tại một "cycle" thì thành phần liên thông chứa nó phải là một "clique" hoặc nó chỉ chứa đúng cycle đó. Điều này là không thể vì ban đầu các thành phần liên thông không phải là một "clique" và tồn tại đỉnh bậc lẻ. Do đó đồ thị lúc này là một "forest". Tại mỗi đỉnh có bậc lớn hơn $1$ ta thực hiện chuyển trạng thái và sau mỗi lần thì đồ thị mới sẽ không tạo ra "cycle". Do đó ta sẽ thực hiện được cho đến khi mọi đỉnh có bậc nhỏ hơn $2$.

MATHSCOPE 17-07-2019 07:18 PM

Trích:

Nguyên văn bởi hung.vx (Post 214098)
Bài 4: Tìm các số nguyên dương $k$ và $n$ sao cho\[k! = \left( {{2^n} - 1} \right)\left( {{2^n} - 2} \right) \ldots \left( {{2^n} - {2^{n - 1}}} \right).\]

Giả sử $(k,\,n)$ thỏa yêu cầu, với $n>4$ ta có\[\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = \sum\limits_{1 \le j \le n - 1} j = {v_2}\left( {\prod\limits_{1 \le j \le n - 1} {\left( {{2^n} - {2^j}} \right)} } \right) = {v_2}\left( {k!} \right) < k,\;(*).\]Từ đây kéo theo là \[k! \ge \left( {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + 1} \right)! = \prod\limits_{2 \le j \le \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}} j \prod\limits_{\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4} < j \le \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + 1} j > {2^{\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}}}{\left( {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}} \right)^{\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}}}.\]Mặt khác ta lại có\[\prod\limits_{0 \le j \le n - 1} {\left( {{2^n} - {2^j}} \right) < {2^{{n^2}}}.} \]Từ đó mà có được\[{2^{{n^2} - \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}}} > {\left( {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}} \right)^{\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}}}.\]Để ý rằng do $n> 4$ nên $n-1\ge\frac{3n+1}{4}$, do đó\[{2^{n - 1}} \ge {2^{\frac{{3n + 1}}{4}}} > {\left( {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}} \right)^{\frac{{n - 1}}{4}}}.\]Vậy, ta có $16 > \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}$, từ đây có $n\in\{5,\,6,\,7,\,8\}$. Nhưng cũng không xảy ra tình huống này, vì nếu thế thì từ $(*)$ có $k\ge 11$ nên $v_{11}(k!)\ge 1$. Trong khi đó, do $2$ là căn nguyên thủy mod 11 nên với $n\le 8<10$ thì\[{v_{11}}\left( {\prod\limits_{0 \le j \le n-1} {\left( {{2^n} - {2^j}} \right)} } \right) = 0.\]
Thử trực tiếp $n\in\{1,\,2,\,3,\,4\}$ thấy có các cặp $(n,\,k)$ thỏa yêu cầu là $(1,\,1)$ và $(2,\,3)$, vậy nên có hai cặp thỏa yêu cầu như vừa kể.

oong0giaf 31-08-2019 03:52 PM

Cho hỏi không ngoài lề lắm

Có một số người thảo luân về Lê Bá Khánh Trình

Trong đó có người xem xét lại bài toán IMO của LBKT

Cánh xem xét này có đúng không?

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]


Múi giờ GMT. Hiện tại là 01:39 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 14.57 k/15.25 k (4.51%)]