nhờ các bác vài bài giới hạn
 

1) $\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{1^2+2^2+...+n^2} $
2) $\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{2^{\sqrt{n}}} $
3) $\lim_{n\to +\infty}(\frac{n}{n^3+1}+\frac{2n}{n^3+2}+...+\fra {n.n}{n^3+n}) $
4) $\lim_{n\to +\infty}\frac{n^s}{(1+p)^n} $ với $s,p>0 $

1)ta có $1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 $ do đó $\lim\limits_{n\to\infty}(1^2+...+n^2)^{\frac{1}{n} }=1 $.
2)ta có $2^x\leq x(x-1)(x-2)/6 $ với $x\leq 3 $ bằng cách dùng đạo hàm. do đó với $n\leq 9 $ ta có
$\frac{n}{2^{\sqrt{n}}}\leq \frac{6n}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)(\sqrt{n}-2)} $ do đó $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n}{2^{\sqrt{n}}}=0 $.
3)đặt $s_n=\frac{n}{n^3+1}+\frac{2.n}{n^3+2} + ... + \frac{n.n}{n^3+n} $ ta có
$s_n\leq \frac{n+2n+...+n.n}{n^3+1}=\frac{n^2(n-1)}{2(n^3+1)} $
$s_n\geq \frac{n+2n+...+n.n}{n^3+n}=\frac{n^2(n-1)}{2(n^3+n)} $
áp dụng nguyên lý kẹp ta có $\lim\limits_{n\to \infty}s_n=1/2 $.
4)chọn k là số nguyên dương sao cho $k>s $ với $n\geq k $từ khai triển nhị thức Newton ta có:
$(1+q)^n\geq q^k\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!} $
do đó
$\frac{n^s}{(1+q)^n}\leq \frac{k!n^s}{q^k n(n-1)...(n-k+1)} $
từ đó ta có
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^s}{(1+q)^n}=0 $.

éc! cái này chứng minh thế nào vậy bạn???

mình đánh bị nhầm dấu bất đẳng thức và x lớn hơn hoặc bằng 3 , đơn giản nhất là bạn chuyển về cùng 1 vế rồi dùng khảo sát hàm số.