Ai giúp mình giải bài tập về Dạng Chính Tắc JORDAN với...
 

Cho f là đa thức đặc trưng của ma trận vuông A và f.red là tích các ước bất khả qui khác nhau của f. Đặt r = rank(f.red(A)). Chứng minh rằng đa thức tối tiểu g của A chia hết (f.red)^r+1
f.red là f cơ số red nha m.n
Ai biết thì giúp mình giải với, cám ơn nhiều ạ

Mình dịch lại đề bài một chút nhé:

Cho $f$ là đa thức đặc trưng của ma trận vuông $A$. Đặt $f_\mathrm{red}$ là tích các ước bất khả qui phân biệt của $f$. Đặt $r = \mathrm{rank}(f_\mathrm{red}(A))$. Chứng minh rằng đa thức tối tiểu $g$ của $A$ chia hết $(f_\mathrm{red})^{r+1}$.

Điều này tương đương với

Chứng minh $(f_\mathrm{red}(A))^{r+1}=0$

Chắc sẽ phải sử dụng một bất đẳng thức liên hệ bậc lũy linh của $f_\mathrm{red}(A)$ với rank của nó. Tới đây thì mình chịu (mình không biết có bất đẳng thức nào phù hợp).

Nếu $A$ có thể được đưa về dạng chuẩn Jordan (thí dụ trong trường hợp trường nền là $\mathbb{C}$) thì $f=\prod_{i=1}^k (x-\lambda_i)^{m_i}$ và $f_\mathrm{red}=\prod_{i=1}^k (x-\lambda_i)$. Do đó $f_\mathrm{red}(A)=\prod_{i=1}^k (A-\lambda_i\mathrm{Id})$. Đoạn này cũng phải viết ra rồi xác định rank của $f_\mathrm{red}(A)$, khá là lằng nhằng.