Về bài đa thức trong đề Hà Tĩnh 2017
 

Trước hết, mọi người có thể xem đề bài của bài toán này tại đây, post số 20.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Ý tưởng tìm liên hệ đẹp giữa 2 nghiệm xấu của các đa thức bậc 3 đã từng xuất hiện ở đề VMO 2003.

Chúng ta thử phân tích sâu hơn cũng như cách chế biến ra một bài như thế này.

Trước hết, ta chọn một đa thức bậc 3 đảm bảo có nghiệm duy nhất (xét hàm đồng biến cho dễ), chẳng hạn $P(x)=x^3+2x^2+3x+4$.
Thay $x$ bởi $1-x$, ta có $Q(x)=x^3-5x^2+10x-10$. Lại đổi biến $x$ thành $1/x$, ta có đa thức mới $R(x)=10x^3-10x^2+5x-1$.

Khi đó, nếu gọi $a,b$ lần lượt là nghiệm của $P(x), R(x)$ thì ta có $a+1/b=1$.

Tiếp theo, ta lại tìm đa thức nhận bình phương nghiệm của $P(x)$ là nghiệm của nó. Để thực hiện điều này, ta có thể dùng Viete thuận - đảo hoặc tiến hành như sau:

$$\begin{aligned}
& {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+3x+4=0 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{3}}+3x=-(2{{x}^{2}}+4) \\
& \Rightarrow {{({{x}^{3}}+3x)}^{2}}={{(2{{x}^{2}}+4)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow {{x}^{6}}+6{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}=4{{x}^{4}}+16{{x}^ {2}}+16 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{6}}+2{{x}^{4}}-7{{x}^{2}}-16=0 \\
\end{aligned}$$

Từ đây suy ra đa thức $S(x)=x^3+2x^2-7x-16$ có nghiệm là $a^2$.

Bằng cách đó, ta có thể đặt ra bài toán khá lạ như sau:

Cho đa thức $R(x)=10x^3-10x^2+5x-1$ và $S(x)=x^3+2x^2-7x-16.$ Chứng minh rằng hai đa thức này có nghiệm thực duy nhất là $r,s$ và $\dfrac{1}{r} - \sqrt{s}=1$.

Để tìm ngược lại đa thức $P(x)$ từ $S(x)$, ta có thể đặt $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ rồi đồng nhất hệ số và giải hệ phương trình (không quá khó vì chúng ta có thể tin tưởng nghiệm này nguyên). =p~


Dưới đây là bài toán trong đề Gặp gỡ Toán học 2017 vừa rồi. Mọi người tham khảo thêm:

Cho hai đa thức $P(x)={{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+39x-46$ và $Q(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x-3$.

a) Chứng minh rằng $P(x),Q(x)$ đều có các nghiệm dương duy nhất, đặt là $\alpha ,\beta $.

b) Chứng minh rằng $\{\alpha \}>{{\{\beta \}}^{2}}$, trong đó ký hiệu $\{x\}$ là phần lẻ của số thực $x.$

Lời giải. a) Trước hết, dễ thấy rằng $P(x),Q(x)$ đều là các hàm đồng biến và là các đa thức bậc lẻ nên chúng phải có nghiệm duy nhất. Ta có $P(1)P(2)<0$ và $Q(0)Q(1)<0$ nên $\alpha \in (1;2)$ và $\beta \in (0;1).$ Suy ra các nghiệm này đều dương.

b) Xét $R(x)=P(x+1)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+34x-10$ thì rõ ràng $R(x)$ cũng có nghiệm duy nhất là $a$ và $a=\alpha -1=\{\alpha \}$ vì $\alpha \in (1;2).$
Ta có $Q(x)=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}+4x=3-3{{x}^{2}}\Rightarrow {{x}^{2}}{{({{x}^{2}}+4)}^{2}}={{(3-3{{x}^{2}})}^{2}}$, khai triển và rút gọn, ta được ${{x}^{6}}-{{x}^{4}}+34{{x}^{2}}-9=0$. Từ đó suy ra đa thức $S(x)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+34x-9$ cũng có nghiệm duy nhất là $b$ và $b={{\beta }^{2}}={{\{\beta \}}^{2}}$ vì $\beta \in (0;1).$
Ta cần chứng minh rằng $\{\alpha \}>{{\{\beta \}}^{2}}$ hay $a>b$.
Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}-{{t}^{2}}+34t$ với $t\in \mathbb{R}$ thì vì ${f}'(t)=3{{t}^{2}}-2t+34>0$ nên $f$ đồng biến và $f(a)=10,f(b)=9$. Từ đó dẫn đến $a>b.$ Ta có đpcm.