Xác suất chọn được tập con có tổng các phần tử chia hết cho $3$.
 

Với mỗi tập con $T$ của tập $U = \{ 1,2,3,\ldots,18 \}$, đặt $S(T)$ là tổng tất cả các phần tử của $T$. Biết rằng xác suất chọn được tập $T$ sao cho $S(T)$ chia hết cho $3$ là $\dfrac{m}{n}$ với $m,n$ là các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau. Tìm $m$.

AIME Problems 2018

Gọi $m=e^{2i\pi /3}$
Gọi $a_0$ là số tập con có tổng phần tử chia hết cho 3,$a_1$ là số tập con có tổng các phần tử chia 3 dư 1 và $a_2$ là số tập con có tổng các phần tử chia 3 dư 2
Khi đó:
$a_0+a_1.m+a_2.m^2=\sum_{T \in U}m^{S(T)}=(1+m^1)(1+m^2)...(1+m^{18})=(1+m^0)^6(1 +m)^6(1+m^2)^6=2^6$
nên $a_0-2^6=a_1=a_2$ và $a_0+a_1+a_2=2^18$,từ đó $a_0=\frac{2^18+2^7}{3}$