Tìm số dư khi chia cho $p$ Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và $a$ là một số nguyên dương bất kì. Đặt $A=(a+1^2)(a+2^2)...(a+(\frac{p-1}{2})^2)$ Tìm số dư của $A$ khi chia cho $p$ ______________________ Bài Hải Phòng năm nay là một hệ quả của bài toán này! =p~ |
Trích:
Gọi $B=(a+(p-1)^2)(a+(p-2)^2)...(a+(p-\frac{p-1}{2})^2)$ thì anh nghĩ có thể giải dựa theo 2 nhận xét (tương tự định lí Lagrange) thế này: $AB$ là đa thức theo $a$ có dạng $a^{p-1} + k_{p-2}a^{p-2}+k_{p-3}a^{p-3}+...+k_1a+k_0$ có tất cả các hệ số, trừ $k_0, k_{(p-1)/2}$, là đều chia hết cho $p$. Hơn nữa, $A \equiv B \mod{p}$ với mọi $a$ nên chỉ cần tìm theo $a$ số dư của $AB$ khi chia cho $p$ là bao nhiêu. Chú ý rằng theo định lí Wilson thì $(1.2.3...(p-1))^2$ chia $p$ dư 1. |
Trích:
Trường hợp 1: $a\equiv 0 (mod p) $. Rõ ràng là $A \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} (mod p) $. Trường hợp 2: $a \in N $ hoặc $a\in M, p \equiv 1 (mod 4) $. Dễ thấy $A \equiv 0 (mod p) $. Trường hợp 3: $a \in M, p \equiv 3(mod 4) $. Xét đa thức $P(x) = (x + 1^2)(x + 2^2)...(x + (\frac{p-1}{2})^2) - x^{\frac{p-1}{2}} - 1 $. Ta thấy rằng $deg(P(x)) = \frac{p-3}{2} $ và $P(x) $ có $\frac{p-1}{2} $ nghiệm theo $mod p $ nên $P(x) \equiv 0 (mod p) $. Do đó: $P(a) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} + 1 \equiv 2 (mod p) $. |
Bài Hải Phòng năm nay đáp số đúng phải là 4 |
Trích:
mà theo kết quả ở trên thì $(1^2+1)(2^2+1)\cdots((\frac{(p-1)^2}{2})^2+1) \equiv 2 (mod p) \Rightarrow (1^2+1)^2(2^2+1)^2\cdots((\frac{(p-1)^2}{2})^2+1)^2 \equiv 4 (mod p)$. Và từ đó có được cái cần tìm. |
Bạn có thể giải thích rõ trường hợp 2 khi a thuộc M được k? ------------------------------ Bạn có thể giải thích rõ hơn trường hợp 2 khi a thuộc M đươc không? |
Trích:
|
Trích:
|
Trích:
|
Trích:
|
Trích:
\[P\left( x \right) = {x^{\frac{{p - 1}}{2}}} - {\left( { - 1} \right)^{\frac{{p - 1}}{2}}} - \prod\limits_{1 \le k \le \frac{{p - 1}}{2}} {\left( {x + {k^2}} \right)} .\]Ta có $p\mid P\left( -k^2 \right) $ với mọi $k\in\left\{1,\,2,\,\ldots ,\,\frac{p-1}{2}\right\}$, và đồng thời $\deg P<\frac{p-1}{2}$, cho nên có\[p\mid P(a),\quad\forall\,a\in\mathbb Z.\]Từ đó số dư của $A$ là số dư của ${a^{\frac{{p - 1}}{2}}} - {\left( { - 1} \right)^{\frac{{p - 1}}{2}}}$. |
Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:34 AM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.