Đề thi các trường chuyên và các tỉnh năm học 2019-2020-Lời giải và bình luận
 

Thời điểm này, nhiều tỉnh và các trường chuyên đã và đang hoàn tất việc thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tham dự VMO. Tiếp nối truyền thống nhiều năm trước, trang [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] kết hợp với phong trào BM2E lại mở chuyên mục này. Công việc này, không có mục đích nào lớn hơn là để các thầy cô và các bạn học sinh có một nguồn tư liệu tham khảo hữu ích.

Các bài toán sẽ được chia ra làm các thể loại như sau:

1. Các bài toán Đại Số.
2. Các bài toán Số Học.
3. Các bài toán Hình Học.
4. Các bài toán Giải Tích.
5. Các bài toán Rời Rạc.

Chúng tôi sẽ tập hợp các đề toán theo từng chủ đề, gửi lên đây và chúng ta có thể vào giải và bình luận. Có thể bình luận trực tiếp trong chủ đề này hoặc là gửi file đính kèm. Một số đề mà chúng tôi không chủ động sưu tập được, mong các thành viên đóng góp thêm.

Các bài toán và lời giải-bình luận, sẽ được chúng tôi tổng hợp lại thành 1 file pdf. Bây giờ xin bắt đầu bằng chủ đề Số Học.

1. [Lam Sơn-Thanh Hóa] Bắt đầu từ gốc tọa độ $O\left(0;\,0\right)$, người ta di chuyển một vật đến các điểm hữu tỷ. Sau mỗi lần di chuyển, vị trí mới cách vị trí trước đó đúng môt đơn vị.
   1. Chứng tỏ rằng, có thể di chuyển vật đến điểm $M\left( {\frac{1}{5};\,\frac{{16}}{13}} \right)$.
   2. Có thể di chuyển vật đến điểm $N\left( {\frac{1}{2019};\,\frac{{1}}{2020}} \right)$ được không? Tại sao?
   
   
2. [Lam Sơn-Thanh Hóa] Tìm các số nguyên dương $n,\,k$ số nguyên tố Fermat $p$ sao cho\[p^n+n=(n+1)^k.\]
3. [Bắc Giang] Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ có tính chất: nếu $a$ và $b$ là các ước số nguyên dương của $m$ và $\gcd\left(a,\,b\right)=1$ thì $a+b-1$ cũng chia hết $m$.
   
   
4. [Chuyên KHTN-Hà Nội] Tìm các số nguyên dương $a$ và $n$ sao cho $a^{n^2+2n-1}-99$ là một số chính phương.
   
   
5. [Chuyên KHTN-Hà Nội] Cho dãy số $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb N}$, cho bởi công thức truy hồi ${a_0} = 1,\:{a_1} = 6,\:{a_2} = 25$ và với số nguyên dương $n$ bất kỳ thì\[{a_{n + 3}} = 5{a_{n + 2}} - 5{a_{n + 1}} + {a_n}.\]Chứng minh rằng, nếu $2^{2019}\mid n$ thì $2^{4019}\mid a_n$.
   
   
6. [Ninh Bình] Cho dãy số $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb N^*}$, cho bởi công thức truy hồi ${a_1} = 2,\:{a_2} = 20,\:{a_3} = 56$ và với số nguyên dương $n$ bất kỳ thì\[{a_{n + 3}} = 7{a_{n + 2}} - 11{a_{n + 1}} + 5{a_n} - {3.2^n}.\]Tìm số dư khi đem $a_{2019}$ chia $2019$.
   
   
7. [Cần Thơ]Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ, chứng minh rằng\[p\mid \left( {\left\lfloor {{{\left( {45 + \sqrt {2019} } \right)}^p}} \right\rfloor - 89} \right).\]
8. [Lâm Đồng]Tìm các số nguyên dương $m$ và $n$ lớn hơn $2$, sao cho tồn tại vô số số nguyên dương $a$ thỏa mãn\[\left( {{a^n} + {a^2} - 1} \right)\mid \left( {{a^m} + a - 1} \right).\]
9. [Bình Dương] Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ để $2020^n$ viết được thành tổng lập phương của $2019$ số nguyên dương chẵn liên tiếp.
   
   
10. [Bình Dương] Cho đa thức $P(x)=x^p+ax^2+bx+c$, trong đó $a,\,b,\,c$ là các số nguyên còn $p$ là một số nguyên tố. Biết rằng, $P(x)$ có ba nghiệm $x_1,\,x_2,\,x_3$ thỏa mãn $p\nmid \left(x_1-x_2\right)\left(x_2-x_3\right)\left(x_3-x_1\right)$. Chứng minh rằng $abc+ca$ chia hết cho $p^3$.
    
    
11. [Đồng Tháp] Tìm các số nguyên dương $a$ và $b$ sao cho $a^4+10a^2+2^b$ là một số chính phương.
    
    
12. [Bến Tre] Với mỗi số nguyên dương $n$, ký hiệu $F_n=2^{2^n}+1$.
    1. Chứng minh rằng $\gcd\left(F_m,\,F_k\right)=1$ nếu $k$ và $m$ là các số nguyên dương phân biệt.
    2. Tìm chữ số tận cùng khi viết trong hệ thập phân của \[M = \text{lcm}\left( F_1,\, F_2,\, \ldots ,\,F_{2019} \right).\]
    
    
13. [Quảng Bình] Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ và $n=2^{2p}-1$. Chứng minh rằng, $n$ có ít nhất ba ước nguyên tố phân biệt và $$n\mid\left(2^n-8\right).$$
14. [Khánh Hòa] Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương $(a,\,b)$ sao cho \[n = a + \frac{{\left( {a + b - 1} \right)\left( {a + b - 2} \right)}}{2}.\]
15. Phú Thọ. Tìm các số tự nhiên $k,\,m,\,n$ sao cho \[k^3=5^m+7^n.\]
16. Nghệ An. Cho số nguyên dương $n$ và $S\,=\,\{1,2,3,...,n\}.$ Gọi $c_n$ là số các tập con của $S$ mà chứa đúng hai số nguyên dương liên tiếp. CMR:
    $$c_n\,=\,\frac{2nF_{n+1}-(n+1)F_n}{5}.$$
17. Đại Học Vinh. Tìm bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa: $1\,+\,2^x\,=\,3^y\,+\,2.4^z.$
18. Thanh Hóa. Cho $p$ là số nguyên tố sao cho $p\, \equiv \,1\,(\bmod \,4).$ Hãy tính $\sum\limits_{k = 1}^{p - 1} {([\frac{{2{k^2}}}{p}]\, - \,2[\frac{{{k^2}}}{p}])} \,$ trong đó $[a]$ kí hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá số thực $a.$
19. Lào Cai. Cho số nguyên tố $p$ và các số nguyên dương $x,\,y$ thỏa:
    $x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1\,=\,y^3\,-\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
    $\,a.\,$ Gọi $q$ là một ước nguyên tố của $x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1.$ CMR $q\,\equiv\,0\,(\bmod \,p)$ hoặc $q\,\equiv\,1\,(\bmod \,p).$
    $\,b.\,$ Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để phương trình $(1)$ có nghiệm nguyên dương.
20. Kiên Giang. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ để $p^2\,+\,15pq\,+\,q^2$ là:
    $\,a.\,$ Một lũy thừa của $17.$
    $\,b.\,$ Một số chính phương.
21. Phú Yên. Cho $p$ là số nguyên tố, $p\,=\,4k+1,\,k\,\in\,mathbb{N^*}.$ Hỏi có tồn tại hay không số tự nhiên $n$ mà $n^2\,+\,2^n$ chia hết cho $2p?$
22. Tây Ninh.
    $\,a.\,$ Cho $p$ là số nguyên tố với $p\,\equiv \,5\,(\bmod\,8)$ và $x,y$ là các số nguyên sao cho $x^4\,+\,y^4$ chia hết cho $p.$ CMR $x $ và $y$ đều chia hết cho $p.$
    $\,b.\,$ Cho các số nguyên dương $a,b$ sao cho $15a+16b$ và $16a-15b$ đều là các số chính phương. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nhỏ hơn trong hai số chính phương đó.
23. Hải Phòng.
    $\,a.\,$ Tìm tất cả các số tự nhiên $a$ để $3a+1$ và $4a+1$ đều là các số chính phương.
    $\,a.\,$ CMR nếu số tự nhiên $a$ thỏa ý $a)$ ở trên thì $a(a-4)$ chia hết cho $13.$
24. Tây Ninh. Số nguyên tố "tử tế " là số nguyên tố được viết dưới dạng $a^3\,-\,b^3,$ ở đây $a,b$ là các số nguyên dương. Tìm chữ số cuối của số nguyên tố "tử tế" này.
25. Kon Tum. $\,a.\,$ Viết số $2019^{2020}$ thành tổng của $n$ số nguyên dương một cách tùy ý như sau:
    ${2019^{2020}}\, = \,\sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} .$ Tìm số dư khi chia $ \sum\limits_{k = 1}^n {{{a_k}^7}}}$ cho $7.$
    $\,b.\,$ Đặt $a_n\,=\,2019^n\,+\,1$ với $n$ là số nguyên dương. Tìm các số nguyên tố $p$ thỏa $a_p$ chia hết cho $p.$
26. Nghệ An. CMR tồn tại dãy nguyên dương $(a_k)$ sao cho: $\frac{{a_{k + 1}^2\, + \,7}}{{{2^{k + 1}}}}$ chia hết cho $\frac{{a_k^2\, + \,7}}{{{2^k}}}$ với mọi $k\,\geqslant\,3.$
27. Đồng Nai. Tìm các số nguyên dương $a,\,b,\,n$ với $a,\,b$ là hai số nguyên tố, $n$ là số chẵn lớn hơn $2$ sao cho: $$a^n\,+\,a^{n-1}\,+...+a\,+\,1\,=\,b^2\,+\,b\,+1.$$
28. Quảng Ngãi.
    $\,a.\,$Cho $n$ là số nguyên dương có ít nhất $6$ ước nguyên dương. Gỉa sử các ước nguyên dương của $n$ được sắp xếp theo thứ tự sau: $1\,=\,d_1\,<\,d_2\,<...<d_k\,=\,n$ với $k\,\geqslant\,6.$ Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $n\,=\,{d_5}^2\,+\,{d_6}^2.$
    $\,b.\,$ Cho $p$ là số nguyên tố. CMR tồn tại các số nguyên $x,\,y,\,z,\,n$ với $0\,<n\,<\,p$ sao cho $x^2\,+\,y^2\,+\,z^2\,-\,np\,=\,0.$
29. Quang Trung. Tìm tất cả các số nguyên tố $p,\,q$ sao cho: $11^p\,+\,17^p$ chia hết cho $3p^{q-1}\,+\,1.$
30. Yên Bái. Với mỗi số nguyên $n\,\geqslant\,2,$ đặt $A_n\,=\,2^{2^n}\,+\,2^{2^{n-1}}\,+\,1.$ CMR với mọi số nguyên $n\,\geqslant\,2$ $A_n$ là hợp số và có ít nhất $n$ ước số nguyên tố phân biệt.
31. Đắc Lắc. Cho trước $p$ là số nguyên tố lớn hơn $2.$ Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho $\sqrt{k^2\,-\,2pk}$ cũng là số nguyên dương.
32. Vĩnh Long. CMR tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $2^n\,+\,1$ chia hết cho $n.$
33. Bắc Ninh. Cho số nguyên tố $p.$ CMR tồn tại vô số số tự nhiên $n$ thỏa:
    $2020^{n+2019}\,\equiv \,n\,+\,2018\,(\bmod\,p).$
34. Hải Dương. Tìm các bộ số nguyên dương $(a,p,n)$ với $p$ nguyên tố thỏa $a^p\,+\,1\,=\,(a\,+\,1)^n.$
35. Chuyên Quang Trung. Cho số nguyên tố $p\,=\,3k\,+\,2,$ $k\,\in\,\mathbb{N}.$
    $\,a.\,$ CMR $a^3\,\equiv\,b^3\,(\bmod\,p)$ khi và chỉ khi $a\,\equiv\,b\,(\bmod\,p).$
    $\,b.\,$ Cho đa thức $P(x)\,=\,x^3\,+\,3x^2\,+\,3x\,+\,2.$ CMR tồn tại vô số số nguyên $n$ để $P(n)$ chia hết cho $p.$
36. Chuyên Lê Hồng Phong. Tìm tất cả các số nguyên dương $n,\,x$ sao cho $4x^n\,+\,(x\,+\,1)^2$ là số chính phương.
37. Chuyên Lê Hồng Phong. Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,m,n$ với $(m,\,n)\,=\,1$ thỏa:
    $(a^2\,+\,b^2)^m\,=\,(ab)^n.$
38. Khánh Hòa. CMR với mỗi số nguyên dương $n,$ tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương $(a,\,b)$ sao cho $n\,=\,\frac{1}{2}(a\,+\,b\,-\,1)(a\,+\,b\,-\,2)\,+\,a.$
39. Hà Nam. Cho $q$ là số nguyên tố lớn hơn $2$ và $Q\,=\,(2q)^{2q}\,+\,(2q)!\,+\,((2q)!)^{2q}.$ CMR $Q$ có một ước nguyên tố $p\,>\,2q.$
40. Hà Nam. Với số nguyên tố $p$ ở câu trên, giả sử $p\,=\,x\,+\,y,$ trong đó $x,\,y$ nguyên dương. CMR tồn tại vô hạn bộ số nguyên dương $(x,\,y)$ sao cho $(x!)^y\,+\,(y!)^x\,+\,1$ chia hết cho $p.$
    

Sẽ update thường xuyên..

1. [Lam Sơn-Thanh Hóa] Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ và $Q(x)$ thỏa mãn$$ P(x+Q(y))=Q(x+P(y)),\quad\forall\,x,\,y\in\mathbb R. $$
2. [Bắc Giang] Tìm các hàm số liên tục $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn$$ f(x+y) f(x-y)=f^{2}(x)f^{2}(y), \;\forall x, \,y \in \mathbb{R}. $$
3. [Bắc Giang] Cho đa thức $P(x)=1+4 x+4 x^{2}+\dots+4 x^{2 n-1}+4 x^{2n}$, với $n$ là một số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng, $P(x)$ không thể là bình phương của một đa thức khác.
   
   
4. [Chuyên KHTN-Hà Nội] Cho $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng$$ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{6 a}{2 a+b+c}+\frac{6 b}{2 b+c+a}+\frac{6 c}{2 c+a+b} \geq 6. $$
5. [Chuyên KHTN-Hà Nội] Tìm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x,\,y$ bất kỳ, ta luôn có$$ f(x) f(y)+x^{2}=x\left[f(2 x)+f(f(y-x))\right]. $$
6. [Ninh Bình] Tìm các hàm số liên tục $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $$ f(x y)=f\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)+(x-y)^{2}, \;\forall \,x,\, y \in \mathbb{R}. $$
7. [Ninh Bình] Cho ba số thực $a,\,b,\,c$ đôi một phân biệt, tìm giá trị nhỏ nhất của $$ P=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+b c+c a\right)\left(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\right). $$
8. [Ninh Bình] Tìm các số nguyên $x,\,y,\,z$ thỏa mãn$$ \left\{\begin{array}{l}{x^{3}-4 x^{2}-16 x+60=y}, \\ {y^{3}-4 y^{2}-16 y+60=z}, \\ {z^{3}-4 z^{2}-16 z+60=x.}\end{array}\right. $$
9. [Cần Thơ] Cho tam thức bậc hai hệ số thực $P(x)=ax^2+bx+c$, với $a<b$ và $P(x)\ge 0$ với mọi số thực $x$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$$ T=\frac{a+b+c}{b-a}.$$
10. [Cần Thơ] Tìm hàm số $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với bất kỳ $x,\,y\in\mathbb R$ ta có $f(x)\ge 2019x$ và\[f(x+y)\ge f(x)+f(y).\]
11. [Lâm Đồng] Tìm đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho với số thực $x$ bất kỳ, ta có$$ P\left(x^{2}+x+3\right) P(3 x+1)-P\left(6 x^{3}+7 x^{2}+16 x+3\right). $$
12. [Lâm Đồng] Tìm các hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x,\,y$ bất kỳ, ta có$$ f(f(x) f(y))+f(x+y)=f(x y). $$
13. [Bình Dương] Tìm các hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x,\,y$ bất kỳ ta đều có$$ f\left(x^{2}-y^{2}\right)=(x-y)(f(x)+f(y)). $$
14. [Bình Dương] Tìm các nghiệm thực của phương trình$$ \left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}\right) \left(x^{2}+\sqrt{x^{2}+4x+3}\right)=2x.$$
15. [Bình Dương] Cho $x,\,y,\,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$, tìm giá trị nhỏ nhất của$$ T=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{ 2}+1}. $$
16. [Đồng Tháp] Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$, chứng minh rằng$$ (a b+b c+c a)^{2}+9 \geq 18 a b c. $$
17. [Bến Tre] Tìm các nghiệm thực $x$ trên đoạn $[-2;\,2]$ của phương trình$$ x^{3}+x^{2}-3 x-2=2 \sqrt{x+2}. $$
18. [Bến Tre] Tìm các nghiệm thực $x$ của phương trình$$ \sqrt{x^{3}+2 x}+\sqrt{3 x-1}=\sqrt{x^{3}+4 x^{2}+4 x+1} $$
19. [Bến Tre] Tìm các nghiệm thực của hệ phương trình$$ \left\{\begin{array}{c}{x^{2}-2 y^{2}=1}, \\ {2 y^{2}-3 z^{2}=1}. \\ {x y+y z+z x=1}\end{array}\right. $$
20. [Bến Tre] Tìm các hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x,\,y$ bất kỳ ta đều có$$ f(f(x)+y)=f\left(x^{2}-y\right)+4 f(x) y. $$
21. [Bến Tre] Tìm hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn: với các số thực $x,\,y$ bất kỳ ta đều có$$ f(f(x)+2 f(y))=f(x)+y+f(y). $$
22. [Quảng Bình] Tìm các số nguyên dương $m$ và $n$, sao cho với mỗi đa thức $P(x)$ bậc $m$ có hệ số thực luôn tồn tại một đa thức $Q(x)$ bậc $n$ có hệ số thực thỏa mãn\[Q(x)\mid Q(P(x)).\]
23. [Sài Gòn] Cho các số thực dương $a,\,b,\,c,\,d$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=1$, chứng minh rằng$$
    4(1-a)(1-b) \geq(c+d)^{2}.$$
24. [Sài Gòn] Tìm các hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ liên tục tại $0$, sao cho với mỗi số thực $x$ ta đều có$$
    f(2018 x)+f(2019 x)=2020 x.$$
25. [Sài Gòn] Cho $P(x)$ là đa thức đơn khởi, hệ số thực có bậc là $2019$. Biết rằng $P(x)$ có $2019$ nghiệm thực không nguyên, đôi một phân biệt. Giả sử mỗi đa thức $P\left(2x^2-4x\right)$ và $P\left(4x-2x^2\right)$ đều có đúng $2692$ nghiệm thực phân biệt.
    1. Có bao nhiêu nghiệm của $P(x)$ trong $(-2;\,2)$?
    2. Chứng minh rằng tồn tại ba đa thức đồng bậc $A(x),\,B(x),\,C(x)$ sao cho $A(x)C(x)\ne B(x)$ với mọi $x\in (0;\,1)$ và \[P(x)=A(x)B(x)C(x).\]
       
26. [Chuyên Thái Bình] Tìm tất cả hàm số $f\,:\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ thỏa điều kiện :
    $$f(f(x\,-\,y))\,=\,f(x)f(y)\,-\,f(x)\,+\,f(y)\,-\,xy\,\,\,\forall \,x,y\,\in\,\mathbb{R}.$$
27. [Đại học Vinh] Tìm tất cả hàm số $f:\,(0,+\infty)\,\to\, (0,+\infty) thỏa:
    $f(f(xy)\,+\,2xy)\,=\,3xf(y)\,+\,3yf(x).$
28. [Tiền Giang] Tồn tại hay không hàm số $f:\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho phương trình $f(x)\,=\,\alpha$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt với mọi $\alpha \,\in\,\mathbb{R}.$
29. [Tiền Giang] Cho các số thực dương $a,\,b,\,c$ thỏa $a\,<\,b\,<c$ và $|a^3\,-\,3a|\,=\,|b^3\,-\,3b|\,=\,|c^3\,-\,3c|.$ CMR $a\,+\,b\,=\,c.$
30. [Quảng Ninh] Tìm tất cả các hàm $f:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ thỏa: $xf(x+xy)\,=\,xf(x)\,+\,f(x^2)f(y)\,\,\forall x,y\,\in\,\mathbb{R}.$
31. [Phú Yên] Cho $2019$ số $a_i\,\in\,[0,2](i\,=\,1,2,3,...,2019$ thỏa $\sum\limits_{i = 1}^{2019} {{a_i}} \, = \,2019.$ Tìm $max \sum\limits_{i = 1}^{2019} {{{a_i}^2}}.$
32. [Lào Cai] Tìm tất cả các hàm $f:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ thỏa:
    $f(x\,-\,f(y))\,=\,f(x)\,-\,2xf(y)\,+\,f(f(y))\,+\,1\,\,\forall x,y\,\in\,\mathbb{R}.$
33. [Chuyên Amsterdam] Tìm tất cả các hàm $f:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ thỏa:
    $$f((x\,-\,y)^3)\,=\,(x\,-\,y)(f^2(x)\,-\,2yf(x)\,+\,y^2\,\,\,\,\forall\,x,y\,\in\,\mathbb {R}.$$
34. [Bà Rịa-Vũng Tàu] Tìm tất cả các hàm $f:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ thỏa:
    $$f(x^2\,+\,4\,+\,f(y))\,=\,y\,-\,4x\,+\,f^2(x\,+\,2)\,\,\,\,\forall \,x,y\,\in\,\mathbb{R}.$$
35. [Bà Rịa-Vũng Tàu] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có hệ số thực thỏa điều kiện:
    $$P(x^3)\,=\,P(x^2)P(x)\,+\,xP(x^2)\,+\,x^2P(x)\,\ ,\forall\,x\,\in\,\mathbb{R}.$$
36. [Nghệ An] Cho $a,\,b$ là hai số dương thỏa $a^2\,+\,b^2\,=\,2.$ CMR: $(a\,+\,b)^3\,\geqslant \,16ab\sqrt{(1\,+\,a^2)(1\,+\,b^2)}.$
37. [Thanh Hóa] Tìm tất cả các hàm $f:\,\mathbb{R^+}\,\to\,\mathbb{R^+}$ thỏa:
    $$xf(x^2)f(f(y))\,+\,f(yf(x)\,=\,f(xy)(f(f(x^2))\, +\,f(f(y^2))).$$
38. [Thanh Hóa] Cho đa thức $P(x)\,=\,4x^2\,+\,5x\,+\,1\,-\,a,$ với $x\,\in\mathbb{R}$ và $a$ là số nguyên cho trước. Đặt $P_2(x)\,=\,P(P(x))\,=\,4(P(x))^2\,+\,5P(x)\,+\,1\ ,-\,a,$ P_{k+1}(x)\,=\,P(P_k(x))$ với mọi $k$ nguyên dương. CMR nếu tồn tại số nguyên $n$ sao cho $n\,=\,P_{101}(n)$ thì $a$ là số chính phương lẻ.
39. [Tây Ninh] Cho các số dương $a_1,\,a_2,\,...,a_n$ thỏa điều kiện $$\frac{1}{a_1}\,+\,\frac{1}{a_2}\,+...\,+\,\frac{ 1}{a_n}\,=\,a_1\,+\,a_2\,+...+\,a_n.$$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $a_1\,+\,\frac{{a_2}^2}{2}\,+...+\,\frac{{a_n}^n}{ n}.$
40. [Hải Phòng] Xác định các đa thức $P(x),\,Q(x)$ hệ số thực thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
    $\,1.\,$ $Q(x)$ khác đa thức không và $degQ(x)\,<\,2.$
    $\,2.\,$ P(x^3-1)\,-\,x^3P(x-1)[P(x+1)\,+\,4]\,=\,x^6Q(x)\,\,\,\,\forall\,x\,\in\,\mathbb{R}.$

Sẽ update thường xuyên..

Gọi $\cal P(x,\,y)$ là khẳng định đúng với mọi $x,\,y\in\mathbb R$ là: "$f(f(x)+2 f(y))=f(x)+y+f(y)$".

Giả sử $a,\,b\in\mathbb R$ thỏa mãn $f(a)=f(b)$, từ $\cal P(a,\,b)$ và $\cal P(b,\,a)$ có\[2f\left( a \right) + b = 2f\left( b \right) + a.\]Từ đây $a=b$, nói khác đi $f$ là đơn ánh, lại từ $\cal P\left(x,\,-f(x)\right)$ ta có\[f\left( {f\left( x \right) + 2f\left( { - f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( { - f\left( x \right)} \right).\]Từ tính đơn ánh của $f$, có\[f\left( x \right) + 2f\left( { - f\left( x \right)} \right) = - f\left( x \right).\]Nghĩa là có $f\left( { - f\left( x \right)} \right) = - f\left( x \right),\;(*)$, lại từ $\cal P\left(-f(x),\,x\right)$ có\[f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( {f\left( { - f\left( x \right)} \right) + 2f\left( x \right)} \right) = f\left( { - f\left( x \right)} \right) + x + f\left( x \right) = x.\]Kết hợp điều vừa có với $(*)$, là ta có $f(x)=x$ với mọi $x\in\mathbb R$.

Yêu cầu của bài 6, 7 trong phần đại số cần đổi chỗ cho nhau.

Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có $$\displaystyle\sum_{\text{cyc}}\dfrac{6a}{2a+b+c} =6+2\displaystyle\sum_{\text{cyc}}\dfrac{a-b-c}{2a+b+c}\\ \ge 6+\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{\text{cyc}}\left( a-b-c \right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right) \\ =6+\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{\text{cyc}}\left (\dfrac{a-b-c}{a+b}+\dfrac{b-c-a}{a+b}\right)\\ =6-\displaystyle\sum_{\text{cyc}}\dfrac{c}{a+b}.$$ Chuyển qua ta được điều cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c $ và tam giác suy biến thành $a=0$ và $b=c$ và hoán vị. Điều kiện bài toán $x\ge -1$. Viết lại đề bài như sau $$x^{2}+\sqrt{x^{2}+4x+3}=\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x +1}\right)x,$$ hay là $$x^2-\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}\right)x+\sqrt{x^{2}+4x +3}=0,$$ hay $$\left(x-\sqrt{x+3}\right) \left(x-\sqrt{x+1}\right)=0.$$ Từ đây dễ dàng thu được $S=\left\{ \dfrac{1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}\right \}$. Viết lại bài toán như sau $$6P=6\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+b c+c a\right)\left(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\right).$$ Dễ thấy rằng $$6\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+b c+c a\right)\ge (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2.$$ Do đó ta có $$6P\ge \left[ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right]\left[\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\right].$$ Hay chúng ta cần chứng minh $$6P\ge \left[x^2+y^2 +(x+y)^2\right]\left[\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{(x+y)^2} \right] $$ Xét hàm số $$f(t)=\left[t^2+1^2 +(t+1)^2\right]\left[\dfrac{1}{t^2}+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{(t+1)^2} \right]=\dfrac{2(t^2+t+1)^3}{(t^2+t)^2}=\dfrac{27}{2}+ \dfrac{(2t+1)^2(t-1)^2(t+2)^2}{2(t^2+t)^2}.$$ Do đó ta có $P\ge \dfrac{9}{4}$. Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi hoán vị bộ nghiệm của hệ $a+b=2c,\, a+b+c=0$ Theo giả thiết thì $a>0,\, b>a,\, b^2\le 4ac.$. Do đó ta có $$4T=\dfrac{4a^2+4ab+4ac}{a(b-a)}\ge \dfrac{(2a+b)^2}{a(b-a)}.$$ Chúng ta lại có $$b+2a=(b-a)+3a\ge 2\sqrt{3a(b-a)}.$$ Từ đây suy ra $T\ge 3.$ Đẳng thức xảy ra khi $b=c=4a>0$. Đặt $x=a+b,\, y=ab,\, x^2\ge 4y$, ta viết lại theo ngôn ngữ $x,y$ như sau $$f(y)=\left(x(3-x)+y\right)^2+9- 18y(3-x).$$ $$f'(y):=2y-(2x^2-24x+54).$$ Nếu $x\ge 8+2\sqrt{7}$ hoặc là $x\le 8-2\sqrt{7}$, ta có ngay $f'(y)\le 0$. Vậy nên $$f(y)\ge f\left(\dfrac{x^2}{4}\right)=\dfrac{9(x^2-4)^2}{16}\ge 0.$$ Nếu $ 8-2\sqrt{7}\le x\le 8+2\sqrt{7}$, ta có ngay $$f(y)\ge f\left( x^2-12x+27\right)=9(x-4)^2(2x-5)\ge 0.$$ Vậy nên bất đẳng chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)\sim(1,1,1)$. Hoặc hoán vị bộ $(a,b,c)\sim(-1,-1,5)$. Xét phương trình $$f(t):=t^3-4t^2-16t+60-m=y-m$$ Chúng ta muốn rằng $ f(m)=0.$ nên thu được $m=\left\{-4,3,5\right\}$. Thử ta có $$ \left\{\begin{array}{l}{(x-4)^2(x+4)=y+4}\\ {(y-4)^2(y+4)=z+4} \\ {(z-4)^2(z+4)=x+4}\\ {(x-3)(x^2-x-19)=y-3}\\ {(y-3)(y^2-y-19)=z-3}\\{(z-3)(z^2-z-19)=x-3}\\ {(x-5)(x^2+x-11)=y-5}\\ {(y-5)(y^2+y-11)=z-5}\\{(z-3)(z^2+z-11)=x-5} \end{array}\right. $$ Dễ thầy rằng hệ có nghiệm tầm thường là $(x,y,z)=(-4,-4,-4);(3,3,3);(5,5,5).$ Bỏ qua nghiệm tầm thường và $x,y,z$ không thuộc một trong 3 phần tử $\left\{-4,3,5\right\}$ thì ta cần có $$\prod (x-4)^2(x^2-x-19)(x^2+x-11) = 1.$$ Điều này là vô lý khi ta kiểm tra lại hệ. Vậy có đáp số $(x,y,z)=(-4,-4,-4);(3,3,3);(5,5,5).$ Viết lại phương trình như sau $$ x^{3}+x^{2}-3 x-2- (x+2)=2\sqrt{x+2}-(x+2),$$ hay là $$(x^2-4)(x+1)=\dfrac{4-x^2}{2\sqrt{x+2}+(x+2)},$$ $$(x^2-4)\left[x+1+\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}+(x+2)} \right]=0.$$ Bỏ qua nghiệm tầm thường $x=\pm2$. Xét phương trình $$t^2-1+\dfrac{1}{2t+t^2}=0,\,\ 0\le t\le 2,$$ hay là $$(t^2+t-1)^2=0.$$ Giải phương trình trinh thì thu được $x=-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.$ Vậy tập nghiệm phương trình là $S=\left\{-2,-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},2\right\}$.

Đặt $f(0)=c.$ Thay $y=0$ vào (1), ta thu được
\begin{equation*}
f(0)= f\left(\dfrac{x^2}{2}\right) + x^2, \, \forall x \in \mathbb R
\end{equation*}
hay \begin{equation*}
f(t)= -2t +c, \, \forall t\geq 0. \tag{2}
\end{equation*}
Thay $y=1$ vào (1), ta thu được
\begin{equation*}
f(x)= f\left(\dfrac{x^2+1}{2}\right) + (x-1)^2, \, \forall x \in \mathbb R.\tag{3}
\end{equation*}
Từ (2) và (3) suy ra
\begin{equation*}
f(x)=f\left(\dfrac{x^2+1}{2}\right) + (x-1)^2= -2\cdot\dfrac{x^2+1}{2} + c + (x-1)^2= c- 2x, \, \forall x \in \mathbb R.
\end{equation*}
Thử lại ta thấy hàm $f(x)= c -2x$ thoả mãn các điều kiện bài ra.
p/s: Bài này hình như tính liên tục không có ý nghĩa?

Đặt $1-2+\ldots+2^{p-1}=\Phi_p(-2)$, ta có \[n = \left( {{2^p} - 1} \right)\left( {{2^p} + 1} \right) = 3.\left( {{2^p} - 1} \right){\Phi _p}\left( -2 \right).\]Rõ ràng là ${2^p} - 1\equiv (-1)^p-1\equiv 1\pmod 3$ và $2^p-1>2^3-1>1$, cho nên $2^p-1$ có một ước nguyên tố $q>3$, đồng thời do $p$ lẻ và bổ đề LTE, ta có\[{v_3}\left( {{\Phi _p}\left( -2 \right)} \right) = {v_3}\left( {\frac{{{2^p} + 1}}{{2 + 1}}} \right) = {v_3}\left( p \right) = 0.\]Lại để ý ${{\Phi _p}\left( -2 \right)}>1$ và\[1 \le \gcd \left( {{\Phi _p}\left( { - 2} \right),{\mkern 1mu} \,{2^p} - 1} \right) \le \gcd \left( {3{\Phi _p}\left( { - 2} \right),{\mkern 1mu} \,{2^p} - 1} \right) = \gcd \left( {{2^p} + 1,{\mkern 1mu} {2^p} - 1} \right) = 1.\]Vậy, $\Phi _p\left( { - 2} \right)$ có một ước nguyên tố $r$ nào đó với $3,\,q,\,r$ đôi một khác nhau, tức là $n$ có ít nhất ba ước nguyên tố phân biệt, lại có\[{2^n} - 8 = 8\left( {{2^{{2^{2p}} - 4}} - 1} \right) = 8\left( {{{16}^{{2^{2\left( {p - 1} \right)}} - 1}} - 1} \right).\]Theo FLT, thì có thể viết $2^{2(p-1)}-1=kp$ với $k\in\mathbb N^*$ và lại có\[{2^n} - 8 = 8\left( {{{16}^{kp}} - 1} \right) = 8n\sum\limits_{0 \le j \le 2k} {{{\left( {{2^{2p}}} \right)}^j}.} \]Từ đây có nốt điều cần chứng minh.

Ta có\[{F_{n + 1}} - 2 = {2^{{2^{n + 1}}}} - 1 = \left( {{F_n} - 2} \right){F_n}.\]Vậy nên nếu $m>k$, ta có\[{F_m} = 2 + \left( {{F_m} - 2} \right) = \left( {{F_k} - 2} \right){F_k}{F_{k + 1}} \ldots {F_{m - 1}} \equiv 2\;\;\,{\left( {\bmod F_k} \right)}.\]Từ đây, với để ý $F_k$ lẻ ta có\[\gcd \left( {{F_m},\,{F_k}} \right) = \gcd \left( {2,\,{F_k}} \right) = 1.\]Và cũng từ biến đổi trên ta sẽ có\[M = \prod\limits_{1 \le i \le 2019} {{F_i} = } \prod\limits_{1 \le i \le 2019} {\left( {\frac{{{F_{i + 1}} - 2}}{{{F_i} - 2}}} \right) = \frac{{{F_{2020}} - 1}}{3} = \frac{{{2^{{2^{2020}}}} - 1}}{3}} .\]Vì thế có\[3M = {2^{{2^{2020}}}} - 1 = {\left( {16} \right)^{{2^{2018}}}} - 1 \equiv 15\;\;\,\left( {\bmod 10} \right).\]Kéo theo $M$ sẽ phải có tận cùng là $5$.

Với $x\ge 1/3$. Bình phương hai vế ta được
$$2\sqrt{3x-1}\sqrt{x(x^2+2)}=4x^2-x+2,$$
hay là
$$2\sqrt{3x^2-x}\sqrt{x^2+2}=4x^2-x+2,$$
$$\left(\sqrt{x^2+2}-\sqrt{3x^2-x} \right)^2=0.$$
So sánh điều ta được $x=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}.$

Xét dãy số cho bởi công thức\[{a_n} = {\left( {45 + \sqrt {2019} } \right)^n} + {\left( {45 - \sqrt {2019} } \right)^n}.\]Ta có $a_0=2,\,a_1=90$ và với mỗi số tự nhiên $n$ thì\[{a_{n + 2}} = 90{a_{n + 1}} - 6{a_n}.\]Từ đó, ta có $a_n$ luôn là một số nguyên với mỗi số tự nhiên $n$. Để ý thêm là $0< {\left( {45 - \sqrt {2019} } \right)^n}<1$, nên với mỗi số nguyên dương $n$ ta lại có\[{a_n} - 1 < {\left( {45 + \sqrt {2019} } \right)^n} < {a_n}.\]Vậy nên với mỗi số nguyên tố $p$ lẻ, ta có\[\left\lfloor {{{\left( {45 + \sqrt {2019} } \right)}^p}} \right\rfloor - 89 = {a_p} - 90 = - 90 + 2\sum\limits_{0 \le 2k \le p} {\left( \begin{array}{c}
p\\
2k
\end{array} \right){{45}^{p - 2k}}{{2019}^k}} .\]Bây giờ để ý là với mỗi số nguyên dương $k$, ta có $p\mid\dbinom{p}{2k}$ cho nên theo định lý Flt ta có\[\left\lfloor {{{\left( {45 + \sqrt {2019} } \right)}^p}} \right\rfloor - 89 \equiv 2\left( {{{45}^p} - 45} \right) \equiv 0\;\;\,\left( {\bmod p} \right).\]

Giả sử tồn tại $Q(x)$ sao cho $P=Q^2$, khi đó gọi $r$ là nghiệm của $P(x)$, thì $r\ne 1$ và cũng là nghiệm của đạo hàm $P'(x)$, do đó\[\begin{array}{l}
3 - 4{r^{2n}} &= 4\sum\limits_{0 \le k \le 2n - 1} {{r^k} = 4\left( {\frac{{{r^{2n}} - 1}}{{r - 1}}} \right).} \\
\left( {2n + 1} \right){r^{2n}} &= \sum\limits_{0 \le k \le 2n} {{r^k} = {r^{2n}} + \left( {\frac{{{r^{2n}} - 1}}{{r - 1}}} \right).}
\end{array}\]Kết hợp lại, ta sẽ rút ra được\[{r^{2n}} = \frac{3}{{4 + 8n}},\;\;\,r = - \frac{{2n + 1}}{{6n}}.\]Vậy là có\[{\left( {\frac{{2n + 1}}{{6n}}} \right)^{2n}} = \frac{3}{{4\left( {2n + 1} \right)}}.\]Kéo theo\[4{\left( {2n + 1} \right)^{2n + 1}} = 3{\left( {6n} \right)^{2n}}.\]So sánh bậc của $2$ trong phân tích ra thừa số nguyên tố của hai vế, ta có điều cần chứng minh.

Đặt $P(0)=a,\,Q(0)=b$ và $P(x)-Q(x)=d(x)$, với mọi số thực $x$ ta có ngay\[b=Q\left( 0 \right) = Q\left( { - Q\left( x \right) + Q\left( x \right)} \right) = Q\left( { - Q\left( x \right) + P\left( x \right)} \right) = Q\left( {d\left( x \right)} \right).\]Vậy là có được đánh giá về bậc\[\deg Q\deg d = \deg \left( b \right) \le 0.\]Rõ ràng, nếu $P=Q$ thì luôn thỏa, ta chỉ cần tìm các cặp đa thức ứng với $\deg d\ge 0$, khi đó

1. Nếu $\deg Q\le 0$, ta có $Q(x)=b$ với mọi $x$ và\[P\left( x \right) = P\left( {x - b + Q\left( 0 \right)} \right) = P\left( {x - b + b} \right) = Q\left( {x - b + P\left( 0 \right)} \right) = b.\]Ta có $P=Q$, và chú ý là đang không xét tình huống này.
2. Nếu $\deg Q> 0$ từ $\deg Q\deg d\le 0$ ta có luôn $\deg d=0$, cho nên \[P\left( x \right) = Q\left( x \right) + a - b.\]Lại từ giả thiết ta có\[P\left( {x + b} \right) = P\left( {x + Q\left( 0 \right)} \right) = Q\left( {x + P\left( 0 \right)} \right) = P\left( {x + a} \right) - a + b.\]Vậy, nếu đặt $P(x)-x=D(x)$ thì có ngay\[D\left( {x + a} \right) = D\left( {x + b} \right),\;(*).\]Do đang xét tình huống $P\ne Q$, nên $a\ne b$ đặt $b-a=\delta$, có $\delta\ne 0$ và vì thế với $n\in\mathbb N$ ta có\[D\left( x \right) = D\left( {x - a + a} \right) = D\left( {x - a + b} \right) = \ldots = D\left( {x + n\delta } \right).\]Dẫn đến phương trình $D(x)=D(0)$ có vô số nghiệm dạng $n\delta$, điều đó chỉ xảy ra khi $D(x):\,\text{const}$.
   
   Vậy nghĩa là $P(x)-x=D(x)=D(0)=a$, kéo theo $P(x)=x+a$ và $Q(x)=x+b$.

Tóm lại $P(x)=Q(x)$ hoặc $P(x)=x+a,\,Q(x)=x+b$ với các hằng số thực $a$ và $b$.

Giả sử viết được như thế, tức là có số nguyên dương $k$ để\[{2020^n} = \sum\limits_{k \le j \le k + 2018} {{{\left( {2k} \right)}^3}.} \]Vì $a^3\equiv a\mod 3$, nên dẫn đến mâu thuẫn\[1 \equiv {2020^n} \equiv \sum\limits_{k \le j \le k + 2018} {2j \equiv 2019\left( {2k + 2018} \right) \equiv 0\;\;\,\left( {\bmod 3} \right).} \]

Với mỗi số nguyên $x$, theo Flt ta có\[P\left( x \right) \equiv a{x^2} + \left( {b + 1} \right)x + c\;\;\,\left( {\bmod p} \right).\]Vì đa thức $f(x)=ax^2+(b+1)x+c$ có bậc nhỏ hơn $3$ mà phương trình đồng dư $f(x)\equiv 0\pmod p$ lại có ba lớp nghiệm phân biệt, cho nên theo định lý Lagrange thì các hệ số của nó đều phải chia hết cho $p$, từ đây\[p^3\mid a(b+1)c.\]

$$ \left\{\begin{array}{c}{2x^{2}-2 y^{2}=1+x^2}, \\ {3 y^{2}-3 z^{2}=1+y^2}. \\ {x y+y z+z x=1}\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{2(x-y)(x+y)=(x+y)(x+z)}, \\ {3(y-z)(y+z)=(y+z)(y+x)}. \\ {x y+y z+z x=1}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{(x+y)(z+2y-x)=0}, \\ {(y+z)(3z+x-2y)=0}. \\ {x y+y z+z x=1}\end{array}\right.$$
Trường hợp 1. Nếu $x+y=0$ ta thấy ngay hệ vô nghiệm vì $1=xy+z(x+y)=xy\le 0$.
Trường hợp 2. Nếu $y+z=0$ tương tự hệ cũng vô nghiệm.
Trường hợp 3. Hệ viết lại như sau
$$ \left\{\begin{array}{c}{z+2y-x=0}, \\ {3z+x-2y=0}. \\ {x y+y z+z x=1}\end{array}\right.$$
Bằng phương pháp thế chúng ta thu được $(x,y,z)=\left(-\sqrt{2},-\dfrac{1}{\sqrt{2}},0 \right)$ và $(x,y,z)=\left(\sqrt{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0 \right)$.