Xem bài viết đơn
Old 16-01-2012, 10:01 PM   #32
Chém Gió
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Bài gởi: 60
Thanks: 0
Thanked 28 Times in 18 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Traum View Post
Làm giống như bạn Mashimaru ở post phía trên, ta cần phải chứng minh bất đẳng thức:

$\sum\limits_{k=1}^{n}k(a_k+b_k)\le \frac{n(n+1)(8n+1)}{6} $ với $1\le a_1<a_2<\dots<a_n\le 2n $, $1\le b_1<b_2<\dots<b_n\le 2n $ và $a_1,a_2,...,a_n,b_1,...,b_n $ là một hoán vị của $1,2,...,2n $.

Với cách sắp xếp thứ tự trên thì ta có các điều kiện của bất đẳng thức Karamata được thỏa mãn:

$a_n + b_n \le 2n + 2n-1; $
$a_n + b_n + a_{n-1} + b_{n-1}\le 2n + 2n-1 + 2n-2 + 2n-3; $

$\sum\limits_{k=i}^{n}(a_k+b_k)\le \sum\limits_{k=i}^{n}(2k+2k-1) $ với mọi $i = 1,2,...,n $ và với $i = 1 $ thì ta có đẳng thức.

Áp dụng bất đẳng thức Karamata (hoặc có thể chứng minh bằng khai triển tổng Abel (2 dòng)):

$\sum\limits_{k=1}^{n}k(a_k+b_k)\le \sum\limits_{k=1}^nk(4k-1) = \frac{n(n+1)(8n+1)}{6} $. ĐPCM.
Bất đằng thức cuối mà bạn nhắc đến không phải là Karamata, mà là một sự làm mạnh của bất đẳng thức Chebyshev. Để biết rõ thêm, mời các bạn xem phần cuối về bất đẳng thức Chebyshev trong cuốn "Sáng tạo Bất đẳng thức" của Phạm Kim Hùng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Chém Gió is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
 
[page compression: 8.35 k/9.37 k (10.88%)]