Bài 6:
a)Câu a mình làm tương tự như ý tưởng anh Nguyễn Văn Linh nên sẽ không nêu lại nữa .Có thể xem tại đây:
https://nguyenvanlinh.files.wordpres...st-2018-p6.pdf b)
Bổ đề 1:Cho tam giác $ABC$ có đường tròn bàng tiếp (J) tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$ .Gọi $EF$ cắt $BC$ tại G .Khi đó :$GJ$ vuông góc với $EF$.
Bổ đề 2: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$.Đường tròn A-mixtiinear tiếp xúc với $(O)$ tại T .Đường tròn bàng tiếp góc $A$ tếp xúc với $BC$ ở $D$.Khi đó :$AT,AD$ là hai đường đẳng giác góc $A$ và đường nối $T$ với tâm nội tiếp tam giác $ABC$ đi qua trung điểm cung $BC$chứa $A$ của $(O)$.
Trở lại câu b:
Gọi đường tròn $(AIB),(AIC)$ lần lượt cắt $AP,AQ$ tại $V_1,V_2$ .Ta lại để ý rằng : $(BC,DG)=-1$ nên suy ra các bộ đường thẳng sau đồng quy :$AD,CF,BE$ và $AD,XW,BN$ .Đường thẳng qua $B,C$ lần lượt song song với $CM,BN$ lần lượt cắt $AC,AB$ tại $ X_1,X_2$ .Bây giờ sử dụng phép nghịch đảo tâm $A$ phương tích bất kì dẫn tới: $V_1<->Q$ ,$V_2<->P$ ,$X_1<->M$ ,$X_2<->N$ .
Vẽ đường tròn tâm $P,Q$ và bán kính $PA,QA$ hai đường tròn này lần lượt tiếp xúc với $BC$ tại $X,Y$ .Ta có : $AD$ chia đôi chu vi của tam giác $ABC$ nên $DB+AB=DC+AC$ ,suy ra :$DX^2=DY^2$ .Nên $AD$ là trục đẳng phương của $(P),(Q)$ .Suy ra:$AD$ vuông góc với $PQ$.
Từ đó ta suy ra: $PQ // V_1V_2 // X_1X_2 //MN$ nên nếu gọi $U,V$ lần lượt là trung điểm của $V_1X_2$ và $V_2X_1$ thì $UV$ vuông góc với $AD$ (theo bồ đề 1 trên ).Mà ta thấy $U,V$ lần lượt là tâm của 2 đường tròn $(AV_1X_2),(AX_1V_2)$ nên $AD$ là trục đẳng phương của hai đường tròn đó .Mà qua phép nghịch đảo trên thì 2 đường tròn $(AV_1X_2),(AX_1V_2)$ lần lượt biến thành $QN,PM$ nên $AD,AT$ là đẳng giác góc $A$ của tam giác $ABC$.Nên từ bổ đề 2 ta suy ra :$AT$ và $SI$ cắt nhau tại tiếp điểm A-Mixtilinear và $O$ .Nên $AT$ và $SI$ cắt nhau trên $(O)$. ĐPCM.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]