Trích:
Nguyên văn bởi taikhoan2002 Bài 1: Cho 2004 số nguyên không âm $a_{1},a_{2},...,a_{2004}$ thỏa mãn: $a_{1}^n+a_{2}^n+...+a_{2004}^n$ là số chính phương với mọi $n\in{N}$. Tìm số số hạng nhỏ nhất bằng 0 |
Giả sử $k$ là số các số khác $0$, trước tiên ta có bổ đề là:
"Với $a$ là một số nguyên không là số chính phương, khi đó tồn tại vô số số nguyên tố $p$ sao cho $a$ là một bất thặng dư bậc hai theo mod $p$.".
Chọn $p$ là một số nguyên tố lớn hơn $\mathop {\max }\limits_{1 \le i \le 2004} \left\{ {\left| {{a_i}} \right|} \right\}$, theo định lý Fermat nhỏ ta có\[a_1^{p - 1} + a_2^{p - 1} + \ldots + a_{2004}^{p - 1} \equiv k\pmod p.\]Từ bổ đề và giả thiết, ta có ngay $k$ là số chính phương. Từ đấy có $k\le 44$, và do đó kết quả cần tìm là 68.
PS. Bổ đề kia xem chứng minh ở
http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=45648
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]