III/CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH Với định lí 3 ta có một công cụ khá hữu ích để giải quyết dạng bài này.Trước tiên sẽ
là một bài toán quen thuộc: Bài toán 17: Cho đường tròn (O) và một đường thẳng d nằm ngoài (O). Một điểm S chạy trên (O). Từ S ta kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA,SB (A,B là tiếp điểm ).Chứng minh rằng
khi S chạy trên d thì AB luôn đi qua một điểm cố định .
Giải: 
Xét cực và đối cực đối với (O).
Gọi I là cực của d , vì d cố định nên I cố định.
S thuộc d suy ra đường đối cực của S sẽ đi qua cực của d hay AB đi qua I cố định
Bình luận: Ý tưởng là chuyển bài toán đi qua điểm cố định thành bài toán quỹ tích nhờ định lí 2 và bài toán 17 đã được giải quyết thật gọn nhẹ.!!!! Ta sẽ dùng ý tưởng ấy trong
một bài toán thú vị hơn sau đây:
Bài toán 18: Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) cố định bán kính R.Cho A,B là hai điểm cố định nằm trên (O) sao cho ba điểm A,B,O không thẳng hàng .Xét một điểm C nằm trên đường tròn(O),C không trùng với A và B.Dựng đường tròn $(O_1) $đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC ở C;dựng đường tròn $(O_2) $đi qua B và tiếp xúc với đường thẳng AC ở C.Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai D khác C.
Chứng minh rằng:
1) $CD \leq R $
2)Đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định ,khi điểm C di động trên đường tròn (O) sao cho C không trùng với A và B.((O) kí hiệu đường tròn tâm O)
(Trích bài thi HSG quốc gia Việt Nam bảng A năm học 2004-2005) Giải: 
1)Ta thấy $O_1C \perp CB,OO_2 \perp CB $
suy ra $O_1C // OO_2 $
Tương tự $O_2C // OO_1 $
Suy ra $OO_1CO_2 $ là hình bình hành.
Nên $O_1O_2 $ đi qua trung điểm của OC.
Mà $O_1O_2 $ đi qua trung điểm của CD nên $O_1O_2 // OD $
Lại vì $O_1O_2 \perp CD $ nên $\hat{ODC} =90^0 $
Từ đó sẽ có $CD \leq OC (=R) $
2) Chú ý rằng $(DA,DB) \equiv (DA,DC) + (DC,DB) \equiv \frac{(O_1A,O_1C) + (O_2C,O_2B)}{2} \equiv 2(CA,CB) \equiv (OA,OB) (mod \pi) $
Suy ra A,D,O,B đồng viên.
Ta thấy OD,AB,tiếp tuyến tại C của (O) lần lượt là các trục đẳng phương của từng cặp đường tròn (ADOB) và (COD), (O) và (ADOB) , (O) và (COD)
Do đó 3 đường nói trên đồng quy ở một điểm S.
Xét cực và đối cực đối với (O).
Chú ý đường đối cực của S phải đi qua C và vuông góc với OS nên CD chính là đường đối cực của S.
Vì S thuộc AB cố định nên CD sẽ đi qua cực của AB là một điểm cố định. (DPCM).
Bạn đã thấy sự hữu dụng của định lí 3 trong dạng toán này rồi nhỉ ? Thế nhưng khi đường thẳng cần chứng minh đi qua điểm cố định lại đi qua tâm đường tròn xét cực và đối cực thì sao?? Đường thẳng ấy rõ ràng là không có cực vậy thì ta phải làm thế nào????Biết trường hợp này là sẽ gặp phải nhưng do thời gian gấp rút nên mình chỉ tìm được bài toán khá đơn giản (nhưng thể hiện được ý tưởng ) như sau: Bài toán 19 (Hoàng Quốc Khánh):Cho góc xOy cố định và một điểm A cố định nằm trên tia Ox. Đường tròn (I) thây đổi nhưng luôn tiếp xúc với với hai tia Ox,Oy.Gọi tiếp điểm của (I) trên Ox,Oy lần lượt là B,C.Từ A ta kẻ tiếp tuyến AD tới (I) (D là tiếp điểm , D khác B).OI cắt BD ở E.Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với CE. Chứng minh rằng khi (I) di động (nhưng thỏa mãn điều kiện bài toán) thì d luôn đi qua một điểm cố định.
Giải 
Xét cực và đối cực đối với (I).
D cắt Oy ở F.
Ta thấy đường đối cực của F là CE(qua E) suy ra đường đối cực của E sẽ đi qua F (định lí 3) (1)
Đường đối cực của A là BD(qua E) suy ra đường đối cực của E sẽ đi qua A (định lí 3) (2)
Từ (1),(2) và định lí 3 ta suy ra AF là đường đối cực của E
Theo định lí 2 ta có AF vuông góc với EI , mà chú ý EI là phân giác góc xOy nên dễ có F cố định
Từ đó có điều cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]