Xem bài viết đơn
Old 06-02-2018, 08:36 AM   #2
muaxl2xo
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2018
Bài gởi: 12
Thanks: 0
Thanked 3 Times in 3 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hung.vx View Post
Có $2018$ học sinh lần lượt đi qua một hành lang có $2018$ cái tủ đang đóng được đánh số từ $1$ đến $2018$. Học sinh đầu tiên mở tất cả các tủ. Học sinh thứ $2$ thay đổi trạng thái đóng mở của các tủ được đánh số $2,4,...,2018$. Học sinh thứ $3$ thay đổi trạng thái đóng mở của các tủ được đánh số $3,6,9,...,2017$. Và cứ tiếp tục như thế, học sinh thứ $i$ đi qua sẽ thay đổi trạng thái đóng mở của tất cả các tủ được đánh số là bội của $i$. Hỏi sau khi $2018$ học sinh đi qua thì còn bao nhiêu tủ vẫn còn đóng?

Kosovo Mathematical Olympiad 2018
Tủ n sẽ có số lần tác động = số ước của n. chẳng hạn tủ 36 sẽ bị tác động bởi các học sinh 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Luôn có 2 ước tầm thường là 1 và n. Nếu có 1 ước trong khoảng (1; căn(n)) thì cũng có 1 ước tương ứng với nó trong khoảng (căn(n); n).
Vậy nếu n ko là số chính phương thì số ước của n luôn là số chẵn, do đó trạng thái cuối cùng của tủ n sẽ là đóng.
Nếu n là số chính phương thì số ước của n là số lẻ nên trạng thái cuối cùng của tủ là mở.
Các số chính phương từ 1 đến 2018 là k.k với 0 < k < 45 nên có 44 số.
Vậy tóm lại cuối cùng sẽ có 2018 - 44 = 1974 tủ đóng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
muaxl2xo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
 
[page compression: 8.63 k/9.68 k (10.83%)]