Các ví dụ đầu tiên có thể dùng chuỗi Fourier để chứng minh. VD1. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ Xét $f(x)=x^2$ là hàm chẵn, liên tục trên $\mathbb{R}$. Khai triển hàm này theo chu kì $2\pi$, trong khoảng $[-\pi;\pi]$. Các hệ số $b_n=0$, các hệ số còn lại là: $$a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2dx=\frac{2}{3} \pi ^2$$ $$\begin{align*} a_n&=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2 \cos nxdx \\ &=\left .\frac{2}{\pi}x^2.\frac{\sin nx}{n} \right | _{0}^{\pi}-\frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x \sin nx dx\\ &= \left .\frac{4}{n\pi}x .\frac{\cos nx}{n} \right |_{0}^{\pi} \\ &=\frac{4}{n^2} \cos n\pi = \frac{(-1)^n .4}{n^2} \end{align*}$$ Vậy ta có khai triển $$x^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n.\frac{\cos nx}{n^2}\,\ -\pi \le x \le \pi.$$ Cho $x=\pi$, ta thu được tổng chuỗi số $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.$ _______________________ Với VD2, ta cũng khai triển hàm số $f(x)=x^4$ thành chuỗi Fourier tương tự như trên: $$a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^4=\frac{2}{5} \pi ^4$$ $$a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^4 \cos nx dx = \frac{8 (\pi^2 n^2-6)\cos n\pi}{n^4}$$ Ta được khai triển $$x^4=\frac{1 }{5}\pi ^4+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8(\pi^2n^2-6)(-1)^n}{n^4}\cos nx $$ Cho $x=\pi$ ta được $$\pi^4=\frac{1 }{5}\pi ^4+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8(\pi^2n^2-6)}{n^4} \Leftrightarrow \frac{4}{5} \pi^4=8\pi^2 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}-48 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}$$ Sử dụng kết quả ở ví dụ 1, thay vào được kết quả $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^2}{90}. $ [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] __________________ ...THE MILKY WAY... thay đổi nội dung bởi: magician_14312, 09-05-2012 lúc 01:54 AM |