Xem bài viết đơn
Old 12-01-2012, 05:13 PM   #38
Traum
Moderator
 
Traum's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: cyber world
Bài gởi: 413
Thanks: 14
Thanked 465 Times in 170 Posts
Đây là một bài toán quen thuộc, người ra đề chỉ thay đổi một điều kiện cho hàm ban đầu, ở đây là toàn ánh và tăng ( hiển nhiên là sẽ phải nghĩ ngay đến song ánh và tồn tại hàm ngược, dù có thể ở lời giải mình không cần dùng).

Quan sát 1: $f $ toàn ánh và tăng nên $f $ là song ánh
Quan sát 2: Đoán các hàm đơn giản thỏa mãn, thử với $f(x) = ax $, dễ thấy $a^2x = ax + 12x $, do đó $a = -3 $ hoặc $a = 4 $, và chỉ có $a = 4 $ thỏa mãn điều kiện tăng của hàm $f $.

Quan sát 3: Tính một vài giá trị đặc biệt của $f $. Ở đây đơn giản nhất là $f(f(0)) = f(0)+12\times 0 $ hay $f(f(0)) = f(0) $, do$ f $ là song ánh nên $f(0) = 0 $.

Quan sát 4: vì $f(0) = 0 $ và $f $ tăng nên $f $ dương với $x $ dương và $f $ âm với $x $ âm.

Quan sát 5: với phương trình đã cho thì nghĩ ngay đến dùng dãy số để giải. OK sau khi tính toán thì ta thu được $ f_{n}(x) = A(x)(-3)^n + B(x)4^n $ với $A(x) = \frac{4x-f(x)}{7} $ và $B(x) = \frac{3x + f(x)}{7}} $. Với quan sát 4, thì ta đi xét tính âm dương của $f_n(x) $ với $n $ dương thì $A(x)(-3)^n + B(x)4^n > 0 $ cho $x $ dương, hum hiển nhiên thỏa mãn. Tuy nhiên, nếu chú ý là ở phía ta mới chỉ định nghĩa cho $f_n(x) $ với $n\ge 0 $. Nếu ta có $n < 0 $ thì sao? Với $A(x) \neq 0 $ và $x $ dương cố đinh, thì hiển nhiên tồn tại $n $ âm sao cho $f_n(x) < 0 $ và ngược lại. Câu hỏi là, vậy $f_{-n}(x) $ là cái gì? Ở phần dãy số thì ta biết rằng dãy $a_n = a_{n-1} + 12 a_{n-2} $ có thể mở rộng được cho $n = -1,-2,... $.
Thử với $n = -1 $ ở đây xem, ta sẽ phải có $f(x) = x + 12f_{-1}(x) $, A ha, nhưng mà ở đề bài là $f(f(x)) = f(x) + 12x $ cơ mà??? Ta cần phải thay $x $ bởi $y $ nào đó mà $f(y) = x $, chính là hàm ngược. Nhớ đến quan sát 1: $f $ song ánh nên tồn tại duy nhất $g(x) $ để $f(g(x)) = x $
thay vào: $f(f(g(x)) = f(g(x)) + 12g(x) $ hay $f(x) = x + 12g(x) $. OK rồi, vậy $f_{-1}(x) = g(x) $ là hàm ngược của $x $ và $f_{-n}(x) = g_n(x) $.
Còn điều kiện $f_{-n}(x) > 0 $ với $x > 0 $ và ngược lại thì sao? OK dễ thôi, $f $ dương nếu $x $ dương và âm nếu $x $ âm, do đó $g $ cũng dương nếu $x $ dương và âm nếu $x $ âm. Kéo theo $g_n(x) $ dương nếu $x $ dương và âm nếu $x $ âm.

Phía trên là các bước suy luận và tìm lời giải . Lúc trình bày thì có thể trình bày như bạn chemthan ở trên. Có thể thấy là mọi điều kiện ở đề bài đều được tận dụng tối đa. Mấu chốt là hàm ngược của $f $ cũng thỏa mãn phương trình ban đầu và dấu của $f $ và hàm ngược của $f $. Tất cả chỉ cần một chú ý quan sát cơ bản là ok hết.

Hi vọng mọi người đã có một kì thi vui vẻ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Traum is giấc mơ.

thay đổi nội dung bởi: Traum, 12-01-2012 lúc 05:31 PM
Traum is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 10 Users Say Thank You to Traum For This Useful Post:
anhdunghmd (12-01-2012), hansongkyung (26-04-2012), khicon (12-01-2012), ltdung_t2k19 (12-01-2012), nghiepdu-socap (13-01-2012), ngocson_dhsp (12-01-2012), TKT (14-01-2012), TNP (18-01-2013), vjpd3pz41iuai (12-01-2012), YUGI_94_K51 (12-01-2012)
 
[page compression: 11.94 k/13.15 k (9.22%)]