Trích:
Nguyên văn bởi chemthan  Bài 11. Tìm tất cả các đa thức $P(x) $ hệ số nguyên thỏa mãn :
$2^n|P(3^n) $, với mọi $n\in N* $. |
Gọi $P(x)=(x-1)^kQ(x) $ với $Q(1)\neq 0 $
Ta có $v_2(3^{2^n}-1)=n+1 $ (*)
Mà $2^{2^n}\mid P(3^{2^n}) $ hay $2^{2^n}\mid(3^{2^n}-1)^kQ(3^{2^n}) $
Chọn $ n $ đủ lớn để $2^n>(n+1)k $ ta có:
$2^{2^n-nk}\mid Q(3^{2^n}) $
Ta có:$2^{n+1}\mid Q(3^{2^n})-Q(1) $
Nên$ 2^{2^n-nk}\mid Q(1) $
Mà $2^n-nk \to +\infty $nên $Q(1)=0 $ hay $Q(x)=const $ vậy
$P(x)=a(x-1)^k $ tiếp tục sử dụng (*) để biện luận $k $ là xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]