Trích:
Nguyên văn bởi High high Giải hệ phương trình sau: $$\left\{ \begin{align} & \sqrt{{{\sin }^{2}}x+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}+\sqrt{{{\cos }^{2}}y+\frac{1}{{{\cos }^{2}}y}}=\sqrt{\frac{20y}{x+y}} \\ & \sqrt{{{\sin }^{2}}y+\frac{1}{{{\sin }^{2}}y}}+\sqrt{{{\cos }^{2}}x+\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}}=\sqrt{\frac{20x}{x+y}} \\ \end{align} \right.$$ ------------------------------ |
Mình thì làm bài này "=" Cauchy.và Minscopski
Xét $x \geq 0$ thì $y \geq 0$
Cộng 2 vế của hệ lại ta được:
$VT=\sqrt{\frac{20x}{x+y}}+\sqrt{\frac{20y}{x+y}} \leq \frac{\sqrt{20}\sqrt{2(x+y)}}{\sqrt{x+y}}=\sqrt{40 }$
Áp dụng Mincopski ta có:$\sqrt{sin^2x+ \frac{1}{sin^2x}}+\sqrt{cos^2x+\frac{1}{cos^2x}} \geq \sqrt{(sinx+cosx)^2+(\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx} )^2}\geq \sqrt{(sinx+cosx)^2+\frac{4}{(sinx+cosx)^2}+\frac{ 12}{(sinx+cosx)^2}}\geq \sqrt{2\sqrt{4}+\frac{12}{2(sin^2x+cos^2x)}}=\sqrt {10}$
Chứng minh tương tự:$\sqrt{sin^2y+\frac{1}{sin^2y}}+\sqrt{\frac{1 }{cos^2y}+cos^2y} \geq 2\sqrt{2}$.Vậy $VT \geq 2\sqrt{10}=\sqrt{40}$
Vậy dấu "=" phải xảy ra hay....Ý tưởng là đây,còn lai quá dễ.
Xét $x <0$ thì $y<0$. Vậy xử lí đoạn $VT=\sqrt{\frac{20x}{x+y}}+\sqrt{\frac{20y}{x+y}}\ leq \frac{\sqrt{20}\sqrt{2(x+y)}}{\sqrt{x+y}}=\sqrt{40 }$ cũng tương tự "=" cách đổi lại thành $-x,-y$.Nó chỉ khác nhau ở chỗ này.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]