Trích:
Nguyên văn bởi Unknowing  Bài 24 Cho các số thực dương $a,~b,~c$ đôi một khác nhau và thõa mãn $ab+bc=2c^2,~2a\leq c$ Tìm giá trị lớn nhất của $P$
$P=\dfrac{a}{a-b}+\dfrac{b}{b-c}+\dfrac{c}{c-a}$ |
Ta có $b=\frac {2c^2}{a+c}$, Vậy:
$$P=\frac{a^2+ac}{a^2+ac-2c^2}+\frac{3c}{c-a}$$
Xét hàm $f\left (c \right )=\frac{ac+a^2}{-2c^2+ac+a^2}+\frac{3c}{c-a}$ trên nửa khoảng $\left [2a;+\infty \right )$
Ta có $f'\left ( t \right )=\frac{2ac(c+2a)}{(a-c)(a+2c)}-\frac{3a}{\left ( a-c \right )^2}=\frac{a}{a-c}\left [ \frac{2c(c+2a)}{a+2c}-\frac{3a}{a-c} \right ]$, lại có $a< c$ (do $2a \leq c$) nên dễ dàng suy ra được $f'(t)< 0$, suy ra $f(t)$ nghịch biến trên $\left [2a;+\infty \right )$, hay $f(t) \leq f(2a)=\frac{27}{5}$
Vậy $P\max =\frac{27}{5}$, khi $\left ( a;b;c \right )=\left ( a;2a;\frac{8}{3}a \right )$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]