Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

xuanhai_10t2 · 05-05-2011, 11:17 AM

Cái bổ đề này chắc 1 số anh cũng đã biết rồi,nhưng mà ứng dụng thì em cũng chưa biết hiết:
Cho $a,b $ là 2 số nguyên,$(a,b)=1 $ và $n $ nguyên dương,khi đó:
a)nếu $(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b) = (n,a-b) $

b)nếu $(\frac{a^n+b^n}{a+b},a+b) = (n,a+b) $

VÀ SAU ĐÂY LÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NÓ:

1.$v_p(a^n-b^n) = v_p(a-b)+v_p(n) $
Chứng minh:$a^n-b^n = (a-b).(\frac{a^n-b^n}{a-b}) $

$\Rightarrow v_p(a^n-b^n) = v_p(a-b)+v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b}) $

Ta chứng minh: $v_p(n)=v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b}) $.
Ta có:$(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b) = (n,a-b) $
*TH1:$v_p(n)<v_p(a-b) \Rightarrow v_p(n,a-b)=v_p(n) $
$\Rightarrow v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})=v_p(n) $ suy ra dpcm
*TH2:$v_p(n)>v_p(a-b) \Rightarrow v_p(n,a-b)=v_p(a-b) $
$\Rightarrow v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})>v_p(a-b) $.Mặt khác:
$\frac{a^n-b^n}{a-b}=a^{n-2}+a^{n-3}b^2+...+b^{n-1} $$=k(a-b)+nb^{n-1} $
$\Rightarrow v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})<v_p(a-b) $(vô lí) suy ra dpcm

2.Chứng minh 2 điều kiện sau là tương đương:
$(2^m-1)^2 \mid 2^n-1 $ và $m(2^m-1) \mid n $
Chứng minh:ta có $2^{kn}-1=(2^n-1)(2^{n(k-1}+...+1) $
$\Rightarrow 2^n -1 \mid 2^{kn-1} $.Vì vậy:
$2^{kn+d}-1\equiv2^d-1(mod 2^n-1) $
$\Rightarrow 2^m-1 \mid 2^n-1 \Leftrightarrow m \mid n $.Với $n=km $,ta có:
$\frac{2^{km}-1}{2^m-1} \equiv k(mod 2^n-1) $
$\Rightarrow k=\frac{n}{m} $ chia hết cho $2^m-1 \Leftrightarrow m(2^m-1) \mid n $

3.Chứng minh nếu $n $ là số nguyên dương thỏa mãn $3^n-2^n = p^k $ với $p $ nguyên tố
thì $n $ là số nguyên tố.
Chứng minh:ta cm bằng quy nạp theo $k $:
+với $k=1 $,ta có $3^n-2^n=p $.Giả sử n là hợp số $\Rightarrow n= ab $,do đó $1<3^a-2^a<p $ và$(3^a-2^a) \mid p $,vô lí vì $p $ nguyên tố,vậy n là số nguyên tố
+giả sử bài toán đúng cho mọi số nguyên $k\leh $.Ta chứng minh bài toán đúng với $k=h+1 $.Thật vậy,ta có $3^n-2^n=p^{h+1} $,giả sử $n $ là hợp số thì có 2 TH:
_TH1:$n=cd $ với $c $ là hợp số nhỏ hơn$n $,khi đó ta có $3^c-2^c=p^i $ với $i\leh $ nhưng điều nay trái với giả thiết quy nạp.Vậy TH này không xảy ra
_TH2:$n=st $ với $s,t $ là các số nguyên tố,khi đó ta có:
$e=(\frac{3^n-2^n}{3^s-2^s},3^s-2^s})=(\frac{(3^s)^t-(2^s)^t}{3^s-2^s}=(t,3^s-2^s) $ (4).

Do $n>s $ và $3^n-2^n,3^s-2^s $ đều là các lũy thừa với số mũ dương của $p $ nên $e $ cũng là lũy thừa với số mũ dương của $p $.Kết hợp với (4) ta có $p=t $,tương tự $s=p $.Như vậy $3^{p^2}-2^{p^2}=p^{h+1} \Rightarrow 3^{p^2} \equiv 2^{p^2}(mod p) $ mặt khác từ định lý Fermat thì $3^{p^2} \equiv 3^p(mod p) $ và tương tự cho $2^{p^2} $ nên ta có $3\equiv2(mod p) $,vô lí.Vậy TH này cũng không xảy ra $\Rightarrow $ dpcm

05-05-2011, 11:17 AM	#1
xuanhai_10t2 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 27 Thanks: 2 Thanked 22 Times in 11 Posts	Một bổ đề có khá nhiều ứng dụng Cái bổ đề này chắc 1 số anh cũng đã biết rồi,nhưng mà ứng dụng thì em cũng chưa biết hiết: Cho $a,b $ là 2 số nguyên,$(a,b)=1 $ và $n $ nguyên dương,khi đó: a)nếu $(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b) = (n,a-b) $ b)nếu $(\frac{a^n+b^n}{a+b},a+b) = (n,a+b) $ VÀ SAU ĐÂY LÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NÓ: 1.$v_p(a^n-b^n) = v_p(a-b)+v_p(n) $ Chứng minh:$a^n-b^n = (a-b).(\frac{a^n-b^n}{a-b}) $ $\Rightarrow v_p(a^n-b^n) = v_p(a-b)+v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b}) $ Ta chứng minh: $v_p(n)=v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b}) $. Ta có:$(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b) = (n,a-b) $ TH1:$v_p(n)<v_p(a-b) \Rightarrow v_p(n,a-b)=v_p(n) $ $\Rightarrow v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})=v_p(n) $ suy ra dpcm TH2:$v_p(n)>v_p(a-b) \Rightarrow v_p(n,a-b)=v_p(a-b) $ $\Rightarrow v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})>v_p(a-b) $.Mặt khác: $\frac{a^n-b^n}{a-b}=a^{n-2}+a^{n-3}b^2+...+b^{n-1} $$=k(a-b)+nb^{n-1} $ $\Rightarrow v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})<v_p(a-b) $(vô lí) suy ra dpcm 2.Chứng minh 2 điều kiện sau là tương đương: $(2^m-1)^2 \mid 2^n-1 $ và $m(2^m-1) \mid n $ Chứng minh:ta có $2^{kn}-1=(2^n-1)(2^{n(k-1}+...+1) $ $\Rightarrow 2^n -1 \mid 2^{kn-1} $.Vì vậy: $2^{kn+d}-1\equiv2^d-1(mod 2^n-1) $ $\Rightarrow 2^m-1 \mid 2^n-1 \Leftrightarrow m \mid n $.Với $n=km $,ta có: $\frac{2^{km}-1}{2^m-1} \equiv k(mod 2^n-1) $ $\Rightarrow k=\frac{n}{m} $ chia hết cho $2^m-1 \Leftrightarrow m(2^m-1) \mid n $ 3.Chứng minh nếu $n $ là số nguyên dương thỏa mãn $3^n-2^n = p^k $ với $p $ nguyên tố thì $n $ là số nguyên tố. Chứng minh:ta cm bằng quy nạp theo $k $: +với $k=1 $,ta có $3^n-2^n=p $.Giả sử n là hợp số $\Rightarrow n= ab $,do đó $1<3^a-2^a<p $ và$(3^a-2^a) \mid p $,vô lí vì $p $ nguyên tố,vậy n là số nguyên tố +giả sử bài toán đúng cho mọi số nguyên $k\leh $.Ta chứng minh bài toán đúng với $k=h+1 $.Thật vậy,ta có $3^n-2^n=p^{h+1} $,giả sử $n $ là hợp số thì có 2 TH: _TH1:$n=cd $ với $c $ là hợp số nhỏ hơn$n $,khi đó ta có $3^c-2^c=p^i $ với $i\leh $ nhưng điều nay trái với giả thiết quy nạp.Vậy TH này không xảy ra _TH2:$n=st $ với $s,t $ là các số nguyên tố,khi đó ta có: $e=(\frac{3^n-2^n}{3^s-2^s},3^s-2^s})=(\frac{(3^s)^t-(2^s)^t}{3^s-2^s}=(t,3^s-2^s) $ (4). Do $n>s $ và $3^n-2^n,3^s-2^s $ đều là các lũy thừa với số mũ dương của $p $ nên $e $ cũng là lũy thừa với số mũ dương của $p $.Kết hợp với (4) ta có $p=t $,tương tự $s=p $.Như vậy $3^{p^2}-2^{p^2}=p^{h+1} \Rightarrow 3^{p^2} \equiv 2^{p^2}(mod p) $ mặt khác từ định lý Fermat thì $3^{p^2} \equiv 3^p(mod p) $ và tương tự cho $2^{p^2} $ nên ta có $3\equiv2(mod p) $,vô lí.Vậy TH này cũng không xảy ra $\Rightarrow $ dpcm thay đổi nội dung bởi: xuanhai_10t2, 06-05-2011 lúc 10:50 AM Lý do: latex