Giải bài 13 : Gỉa sử tồn tại $x,y$ sao cho $\dfrac{x^2+1}{y^2-5} \in Z$ Ta có $y^{2}\equiv 0,1\;(mod\;4)\Rightarrow y^{2}-5\equiv 3,0\;(mod\;4)$ Nếu $y^{2}-5\equiv 0\;(mod\;4)\Rightarrow 4\mid x^{2}+1\Rightarrow x^{2}\equiv 3\;(mod\;4)$, điều này vô lí Nếu $y^{2}-5\equiv 3\;(mod\;4)$ thì $y^2-5$ có ít nhất một ước nguyên tố $p$ có dạng $4k+3$, suy ra $p\mid x^2+1$, điều này mâu thuẫn với hệ quả của bổ đề. Kết luận : Không tồn tại số nguyên $x,y$ nào thỏa mãn đề bài. Giải bài 14 Nhận thấy rằng $2003$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$. Áp dụng bổ đề ta suy ra $2003|x$ và $2003|y$. Đặt $x=2003x_1,y=2003y_1$ và thay vào phương trình : $2003^{2002}(x_1^{2002}+y_1^{2002})=2003^{2004}(x_ 1^3+y_1^3)$ $\Leftrightarrow x_{1}^{2002}+y_1^{2002}=2003^{2}(x_1^3+y_1^3)$ Từ đây lại có $2003|x_1,2003|y_1$. Đặt $x_1=2003x_2,y_1=2003y_2$, được : $2003^{1997}(x_2^{2002}+y_2^{2002})=x_2^3+y_2^3$ Rõ ràng $VT\geq VP$ và đẳng thức chỉ xảy ra khi $x=y=0$ Phương trình có nghiệm nguyên duy nhất $(0,0)$ Kiếm đâu ra lắm mấy bài kiểu này thế @@~ [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] thay đổi nội dung bởi: Juliel, 22-12-2013 lúc 07:40 PM |