Câu 5: CHo $x=y=0$ thì được $f(f(0))=f(0)$. Thay $x=0, y=f(0)$, ta có $2f(0)=f(0)^2 \Rightarrow f(0)=0$ hoặc $f(0)=2$. TH1: $f(0)=2$. Thay $y$ bởi $x$, $x=0$ vào pt đầu, ta được: $f(f(x))=f(x)+2(x-1)$ (1) Thay $x$ bởi $x-1$, $y=1$ vào pt đầu, ta được: $f(x+f(x)-1)=x+f(x)-1$ Thay $x$ bởi $x+f(x)-1$ vào (1), ta được: $f(x)=2-x$. TH2: f(0)=0. Giả sử $f(x) \neq x$ $\forall x \in \mathbb{R}$. Thay $y$ bởi $f(x)-x$, ta được: $f(x(f(x)-x))=(f(x)-x)f(x)$ (2) Thay $y$ bởi $x-f(x)$, $x$ bởi $-x$, ta được: $f(-x(x-f(x)))=(x-f(x))f(-x)$ (3) Từ (3) và (2) suy ra $f(x)=-f(-x)$ (*) Thay $y$ bởi $-x$ vào pt đầu, ta được: $f(x)+f(-x^2)=x-xf(x)$ (4) Thay $x$ bởi $-x$ vào pt (4), ta được: $f(-x)+f(-x^2)=-x+x(f-x)$ (5) Từ (4) và (5) suy ra: $-f(x)+x-xf(x)=-f(-x)-x+xf(-x)$ (6) Thay (*) vào (6), ta có: $-f(x)+x-xf(x)=f(x)-x-xf(x) \Leftrightarrow f(x)=x$ (vô lý). Vậy: $f(x)=x$ $\forall x \in \mathbb{R}$. Vậy nghiệm của pt hàm là : $f(x)=2-x$ và $f(x)=x$. [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] __________________ i'll try my best. thay đổi nội dung bởi: quocbaoct10, 11-07-2015 lúc 07:04 PM |