Xem bài viết đơn
Old 25-09-2018, 09:45 AM   #2
Thụy An
+Thành Viên+

 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 90
Thanks: 1
Thanked 68 Times in 45 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Viet HN View Post
Chứng minh rằng có vô số số chính phương trong dãy số $\left\lfloor {n\sqrt 2 } \right\rfloor $, với $n\in\mathbb Z^+$.
Bài này có thể giải được bằng công cụ mạnh hơn như dùng mật độ, nhưng có cách đơn giản như sau.

Xét các dãy số bởi công thức SHTQ như sau\[{a_n} = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^{2n - 1}} + {{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^{2n - 1}}}}{{2\sqrt 2 }},\quad{b_n} = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^{2n - 1}} - {{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^{2n - 1}}}}{2}\quad\,n\in\mathbb Z^+.\]Ta có $a_1=b_1=1,\;a_2=5,\;b_2=7$ và\[\begin{array}{l}
{a_{n + 2}} &= 6{a_{n + 1}} - {a_n}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+,\\
{b_{n + 2}} &= 6{b_{n + 1}} - {b_n}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+.
\end{array}\]Từ đó, $a_n,\,b_n\in\mathbb Z^+\;\forall\,n\in\mathbb Z^+$, thêm nữa ta có được\[2a_n^2 - b_n^2 = \left( {\sqrt 2 {a_n} - {b_n}} \right)\left( {\sqrt 2 {a_n} + {b_n}} \right) = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{2n - 1}}{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{2n - 1}} = 1\quad\forall {\mkern 1mu} n \in {\mathbb Z^+ }.\]Vì thế mà có được\[\left\lfloor {{a_n}{b_n}\sqrt 2 } \right\rfloor = \left\lfloor {\sqrt {2a_n^2b_n^2} } \right\rfloor = \left\lfloor {\sqrt {b_n^4 + b_n^2} } \right\rfloor = b_n^2\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+.\]Để ý rằng các dãy số $a_n,\,b_n$ tăng ngặt, là ta có điều cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
 
[page compression: 8.64 k/9.68 k (10.76%)]