Trích:
Nguyên văn bởi pexea12 Bài 7 Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca} \ge \dfrac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$$ |
TA có:
$$\frac{1}{1+ab}=1-\frac{ab}{1+ab}\geq 1-\frac{\sqrt{ab}}{2}$$
$$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\geq 3-\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}{2}=3-\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2-a-b-c}{4}$$
Ta cần chứng minh: $$\frac{15}{4}-\frac{(\sum \sqrt{a})^2}{4}\geq \frac{9}{2(\sum \sqrt{a})}$$
Đặt $t=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Để ý rằng $$\sqrt{a+b+c}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq \sqrt{3(a+b+c)}$$
Nên $\Rightarrow \sqrt{3}<t\leq 3$ bất đẳng thức được viết lại thành
$$\frac{15}{4}-\frac{t^2}{4}\geq \frac{9}{2t}\Leftrightarrow (t-3)(t-\frac{\sqrt{33}-\sqrt{3}}{2})(t+\frac{\sqrt{33}-\sqrt{3}}{2})\leq 0$$
Dễ thấy $\sqrt{3}>\frac{\sqrt{33}-\sqrt{3}}{2}$ nên đánh giá đúng với $t \in (\sqrt{3};3]$
Phép chứng minh hoàn tất $\blacksquare$
------------------------------
Bài 8: Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa $a+b=2$. Chứng minh rằng: $$\large {a^{a+ab}b^{b+ab}\geq 1}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]