Ta chỉ xét trường hợp cả $a $ và $b $ đều > 1 Nhận xét 1: $(a,b) = 1 $ thật vậy nếu $(a,b) = d > 1 $ thì do $a $ và $b $ đều lẻ nên $d \ge 3 $. Mà theo đề bài thì $b^2 + 2 $ chia hết cho $a $, do đó $2 $ chia hết cho $d $. vô lý Nhận xét 2: $a^2 + b^2 + 2 $ chia hết cho $ab $. Thật vậy, do $a^2 + 2 $ chia hết cho $b $ nên $a^2 + b^2 + 2 $ chia hết cho $b $, tuông tự a^2 + b^2 + 2 chia hết cho a. Ngoài ra theo nhận xét $1 $ thì $(a,b) = 1 $, nên $a^2 + b^2 + 2 $ chia hết cho $ab $. Hệ quả của nhận xét 2: $a^2 + b^2 + 2 = kab $ với $k $ nào đó nguyên dương. Nhận xét 3: nếu $a>b $ thì $(k-1)b < a < kb $ Thật vậy, $a^2 - (k-1)ab = ab - b^2 - 2 = (a-b)b^2 - 2 > 0 $. nên $a > (k-1)b $. Và, $a^2 < kab $ nên $a < kb $ Nhận xét 4: nếu $(a_0,b_0) $ với $a_0 > b_0 $ thỏa mãn $a_0^2 + b_0^2 + 2 = ka_0b_0 $ thì $(b_0,kb_0-a_0) $ cũng thỏa mãn. Với nhận xét 1 đến 4 thì ta sẽ thu được dãy $(a_n,b_n) $ với $a_{n+1} = b_n $ và $b_{n+1} = kb_n-a_n $. Dãy đó sẽ dừng khi $b_n = 1 $ với $n = n_0 $ nào đó. Ta sẽ chứng minh lúc đó $a_n = 3 $. Thật vậy: $a_n^2 + b_n^2 + 2 = $ $ka_nb_n $ nên $a_n^2 + 3 = ka_n $. Do đó $a_n | 3 $ mà $a_n > 1 $ nên $a_n = 3 $. và $k = 4 $ Vậy ta có $a_{n_0} = 3, b_{n_0} = 1 $ Đặt $v_{1} = 1, v_{2} = b_{n_0} = 1 $. Ta có $a_{n_0} = 3 = v_{3}. $ $ b_{n_0-1} = a_{n_0} = v_{3}; a_{n_0-1} = 4b_{n_0-1} - b_{n_0} = v_{4} $. Cứ như thế ta có $a_0 $ và $b_0 $ là phần tử của dãy $v_n $ [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] __________________ Traum is giấc mơ. |