Xem bài viết đơn
Old 08-01-2015, 01:08 PM   #22
Short_list
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: Tp.HCM
Bài gởi: 85
Thanks: 12
Thanked 79 Times in 32 Posts
Trích:
Câu 2. (5 điểm) Chứng minh rằng bất đẳng thức
\[3(a+b+c)^2 \ge (a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge (a+b+c)^2,\]
luôn đúng với mọi số thực không âm $a,\,b,\,c.$
Thay $(a,b,c)$ bởi $(a^2,b^2,c^2)$ bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
\[3(a^4+b^4+c^4) \geqslant (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)+2(a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2) \geqslant (a^2+b^2+c^2)^2.\]
Ta chứng minh
\[3(a^4+b^4+c^4) \geqslant (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)+2(a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2).\]
Điều này tương đương với
\[a^4+b^4+c^4 +2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geqslant (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca),\]
\[(a^2+b^2+c^2)^2\geqslant (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca),\]
\[(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \geqslant 0.\]
Hiển nhiên đúng nên vế trái được chứng minh.

Tiếp đến ta chứng minh vế bên phải
\[(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)+2(a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2) \geqslant (a^2+b^2+c^2)^2,\]
bất đẳng thức này tương đương
\[a^4+b^4+c^4+(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca) \geqslant 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2),\]
\[a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)+ab(a^2+b^2)+ca(c^2+a^2)+ca( c^2+a^2)\geqslant 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).\]
The bất đẳng thức Schur bậc 4 thì
\[a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \ge ab(a^2+b^2)+ca(c^2+a^2)+ca(c^2+a^2),\]
do đó ta chỉ cần chỉ ra được
\[ab(a^2+b^2)+ca(c^2+a^2)+ca(c^2+a^2) \ge 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2),\]
hay
\[ab(a-b)^2+bc(b-c)^2+ca(c-a)^2 \ge 0.\]
Đẳng thức của hai vế xảy ra khi $a=b=c.$ Bài toán được chứng minh.

P/s. Câu này mình nghĩ quá dở nếu cho làm đề thi quốc gia. Nó giống như kiểu các bài toán làm chặt thường được các thành viên đăng trên Mathlinks.

Ta có thể làm chặt bài toán lên như sau.

Trích:
Cho $a,\,b,\,c$ là ba số thực không âm:

(a) Tìm hằng số $k$ lớn nhất để bất đẳng thức sau luôn đúng
\[3(a+b+c)^2 \ge (a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+k[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2].\]
(b) Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất để bất đẳng thức sau luôn đúng
\[(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+k[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] \ge (a+b+c)^2.\]

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
The Simplest Solution Is The Best Solution

thay đổi nội dung bởi: Short_list, 08-01-2015 lúc 01:38 PM
Short_list is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to Short_list For This Useful Post:
CTK9 (08-01-2015), huynhcongbang (08-01-2015), Juliel (08-01-2015)
 
[page compression: 10.41 k/11.63 k (10.49%)]