Xem bài viết đơn
Old 26-03-2015, 05:21 PM   #21
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Bài cuối thì mình mới có một số ý thế này:

Dễ thấy $n=1$ là không thỏa.

- Với $n=2$, giả sử ta có 2 số $a,b$ thì phải có hệ điều kiện $$\left\{\begin{matrix}
a+b>0\\ a^3+b^3<0
\\ a^5+b^5>0
\end{matrix}\right.$$ Dễ thấy điều này cũng không xảy ra được vì $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ là luôn cùng dấu với $a+b$.

- Với $n=3$, xét 3 số $(a,b,c)$, ta có hệ điều kiện $$\left\{\begin{matrix}
a+b+c>0\\ a^3+b^3+c^3<0
\\ a^5+b^5+c^5>0
\end{matrix}\right.$$ Ta sẽ chứng minh điều này là không thể xảy ra.

Rõ ràng trong 3 số phải có ít nhất 1 số âm và ít nhất 1 số dương. Ta xét 2 trường hợp:

+ Nếu có 2 số âm, 1 số dương, giả sử là $a,b<0, c > 0$ thì đặt $a'= -a>0, b' = -b$, ta có hệ mới $$\left\{\begin{matrix}
a'+b'<c\\ a'^3+b'^3>c^3
\\ a'^5+b'^5<c^5
\end{matrix}\right.$$ Nhân BĐT thứ nhất và thứ hai, ta có $(a'+b')(a'^5+b'^5)<c'^6 = (c'^3)^2 < (a'^3+b'^3)^2$, sai theo BĐT Cauchy-Schwarz.

+ Nếu có 2 số dương, 1 số âm, giả sử là $a,b>0, c < 0$ thì đặt $c'= -c>0$, ta có hệ mới $$\left\{\begin{matrix}
a+b>c'\\ a^3+b^3<c'^3
\\ a^5+b^5>c'^5
\end{matrix}\right.$$ Đến đây ta cũng chứng minh được BĐT này sai.

- Với $n=5$, ta chỉ ra được một bộ thỏa mãn là $$(a,b,c,d,e) = (-7,-7,2,5,8).$$

Do đó, chỉ còn trường hợp $n=4$ (mình đoán là không thỏa, nhưng chưa chứng minh được).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
dangvip123tb (26-03-2015), thiendieu96 (27-03-2015), vantienducdh (26-03-2015)
 
[page compression: 9.80 k/10.88 k (9.92%)]