Trích:
Nguyên văn bởi cuibap  Cho a,b,c,d là các số thực không âm, Chứng minh rằng :
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 1 + abcd \ge ab + bc + cd + da + ac + bd $
Proposed by Alex Anderson, New Trier Township High School, Winnetka, USA |
Bất đẳng thức này là một hệ qủa của bất đẳng thức Tukervici khá nổi tiếng sau :
Với các số thực không âm $x,y,z,t$ ta luôn có
$$ x^4+y^4+z^4+t^4+2xyzt \geq x^2y^2+y^2z^2+z^2t^2+t^2x^2+x^2z^2+y^2t^2.$$
Bây giờ sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $ 1+abcd \geq 2\sqrt{abcd}.$ Ta chỉ cần chứng minh
$$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2\sqrt{abcd} \ge ab + bc + cd + da + ac + bd.$$
Thay $ a,b,c,d$ bằng $x^2,y^2,z^2,t^2 $ ta thấy đây chính là bất đẳng thức Tukervici !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]