[JokerNVT]

Nguyên văn bởi phatthientai

1.a,b,c không âm. thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 $
Chứng minh rằng
$\sum \frac{a}{b^{2}+1}\geq \frac{3}{4}\left ( a\sqrt{a} +b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right )^{2} $

$VT=\dfrac{a^3}{a^2b^2+a^2}+\dfrac{b^3}{c^2b^2+b^2} +\dfrac{c^3}{a^2c^2+c^2}\geq \dfrac{(a\sqrt{a} +b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+a^2+ b^2+c^2}\geq \dfrac{3(a\sqrt{a} +b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{4} $
------------------------------

Nguyên văn bởi phatthientai

2.Cho a,b,c thực dương thỏa abc=1.Chứng minh rằng
$\sum \frac{a+b+1}{a+b^{2}+c^{3}}\leq \frac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c} $

Áp dụng BCS:
$(a+b^{2}+c^{3})(a+1+\dfrac{1}{c})\geq (a+b+c)^2 $
$\Rightarrow \dfrac{(a+b+1)(a+1+ab)}{(a+b^{2}+c^{3})(a+1+\dfrac {1}{c})}\leq \dfrac{(a+b+1)(a+1+ab)}{(a+b+c)^2} $
$\Rightarrow VT\leq \sum \dfrac{(a+b+1)(a+1+ab)}{(a+b+c)^2} $
Mặt khác: Bằng phép tương đương ta có thể chứng minh:
$(a+b+1)(a+1+ab)+(b+c+1)(b+1+bc)+(c+a+1)(c+1+ac)=(a +b+c)(a+b+c+ab+bc+ac+3) $
$\Rightarrow (a+b+c)^2+3(a+b+c)+3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=(a+b+ c)^2+3(a+b+c)+(a+b+c)(ab+bc+ac) $
$\Rightarrow 3=3abc $ (đúng)
Vậy ta có $VT\leq VP $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]