Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Việt Nam TST 2018

DogLover · 01-04-2018, 12:29 AM

Bài 4:

Vì $v_i = u_i$ nếu i chẵn và $v_i = -u_i$ nếu i lẻ nên ta có thể viết lại vế trái
$2(u_0+...+u_{2018})^2 + 2(u_1+...+u_{2017})^2$.

Giả sử khai triển nhị phân của $a$ là $\sum_{i=1} a_i2^{-i}$. Khi đó $[2^ia] = a_i$, như vậy $u_i = \dfrac{3}{2^{i+1}}(-1)^{a_{i+1}} = \dfrac{3}{2^{i+1}}(-2a_{i+1}+1)$. Ta cũng kí hiệu $a_l = \sum_{i=0}^{1009} a_{2i+1}2^{2i+1}$ và $a_c = \sum_{i=1}^{1008} a_{2i}2^{2i}$. Bây giờ chỉ việc khai triển tổng trên và dùng các đẳng thức, bất đẳng thức sau:
- $a_l + a_c \leq a$
- $a_l \leq \dfrac{2}{3}(1-1/4^{1009})$
- $a_c(a_l-1/2) \leq 0$

Đẳng thức xảy ra khi $a = a_l = \dfrac{2}{3}(1-1/4^{1009})$.

01-04-2018, 12:29 AM	#17
DogLover +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2014 Bài gởi: 13 Thanks: 9 Thanked 12 Times in 7 Posts	Bài 4: Vì $v_i = u_i$ nếu i chẵn và $v_i = -u_i$ nếu i lẻ nên ta có thể viết lại vế trái $2(u_0+...+u_{2018})^2 + 2(u_1+...+u_{2017})^2$. Giả sử khai triển nhị phân của $a$ là $\sum_{i=1} a_i2^{-i}$. Khi đó $[2^ia] = a_i$, như vậy $u_i = \dfrac{3}{2^{i+1}}(-1)^{a_{i+1}} = \dfrac{3}{2^{i+1}}(-2a_{i+1}+1)$. Ta cũng kí hiệu $a_l = \sum_{i=0}^{1009} a_{2i+1}2^{2i+1}$ và $a_c = \sum_{i=1}^{1008} a_{2i}2^{2i}$. Bây giờ chỉ việc khai triển tổng trên và dùng các đẳng thức, bất đẳng thức sau: - $a_l + a_c \leq a$ - $a_l \leq \dfrac{2}{3}(1-1/4^{1009})$ - $a_c(a_l-1/2) \leq 0$ Đẳng thức xảy ra khi $a = a_l = \dfrac{2}{3}(1-1/4^{1009})$.