[Song Hà]

Nguyên văn bởi nguyenthaoanhq

Chứng minh rằng: Nếu $a^n$ chia hết cho số nguyên tố $p$ thì $a$ chia hết cho $p$.

Em mới học phần này nên mong anh/chị giúp để hiểu chi tiết từng bổ đề, định lý

Bạn chứng minh khẳng định sau.

Định lý 1 (Bézout). Nếu số nguyên dương $d$ là ước số chung lớn nhất của các số nguyên $a$ và $b$ (tức là $d=\gcd (a,\,b)$), thì tồn tại các số nguyên $k,\,l$ sao cho\[d=ka+lb.\]Từ định lý Bézout, ta có định lý sau.

Định lý 2. Nếu các số nguyên $a$ và $b$ đều nguyên tố cùng nhau với số nguyên dương $m$ (tức là $\gcd(a,\,m)=\gcd(b,\,m)=1$), thì $ab$ cũng nguyên tố cùng nhau với $m$.

Khi đó, nếu số nguyên tố $p\mid a^n$ với $a\in\mathbb Z,\,n\in\mathbb Z^+$ thì $p\mid a$. Bởi vì nếu $p\nmid a$ kéo theo $\gcd (a,\,p)=1$ và từ đó $\gcd\left(a^n,\,p\right)=1$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]