Trích:
Nguyên văn bởi Quân -k47DHV  ta có các kết quả sau
$(*)f(0)=1 $
$(**) 2f(u)^2=f(2u)+1 $
$(***) 2 f(u+v)f(u-v)= f(2u)+f(2v) $
thế thì $4f(u)^2 f(v)^2 \ge 4f(u+v)f(u-v) = 2(f(2u)+f(2v) ) = 2(2f(u)^2 + 2f(v)^2-2). $do đó$ (f(u)^2-1)(f(v)^2-1) \ge 0 . $
suy ra $|f(x)| \le 1 $ , hoặc $|f(x)| \ge 1 $với mọi $x $
nếu $|f(x)| \ge 1 $ theo (**) suy ra$ f(x) \ge 1 $
xét dãy $(x_n) $như sau $x_0 = f(a_0) , x_{n} = f( \frac{a_0}{2^n } ) $
dễ thấy$ x_n >1 $ tăng bị chặn trên(gt) nên$ lim x_n = a $ và $a>1 $ mẫu thuẫn.
vậy $|f(x)| \le 1 $
==============
bài này tương tự
tìm tất cả $f : R\rightarrow R $ ,$f $ liên tục t.m
$2f(x)f(y) = f(x+y)+f(x-y) $. |
Hình như dãy $\{x_n\}_n $ là giảm nếu $x_0>1 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]