Tui làm câu 1 theo kiểu đã học lớp 11 ở lớp bình thường, không chuyên như thế này có được điểm không thầy cô? . Giải. a. Theo giả thiết, lấy một $c \in R$ ta có $f(c) > 0$. Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0$nên $\exists b:f(x) < f(c),\;\forall x \ge b$ Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 0$ nên $\exists a:f(x) < f(c),\;\forall x \le a$ Vì hàm số liên tục trong $\left[ {a;b} \right]$ nên tồn tại giá trị lớn nhất trong đoạn đó, nghĩa là $\exists M,\;\forall x \in \left[ {a;b} \right]:f(x) \le f(c) \le M \Rightarrow \exists {x_0} \in \left[ {a;b} \right]:f({x_0}) = M$ ( đpcm). b. Theo câu a, vì hàm số liên tục nên ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0}) = M$ . Theo định nghĩa giới hạn của hàm số, vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})$ nên tồn tại một dãy số ${x_n}$ sao cho ${x_n} \le {x_0},\quad \forall n$ để cho $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = {x_0} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f({x_n}) = f({x_0})$. Mặt khác vì M là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên $\left[ {a;b} \right]$, nghĩa là $f(x) \le M,\;\forall x \in \left[ {a;b} \right]$ nên M trong trường hợp này cũng là cực đại của hàm số , nên ứng với một đối số ${x_n}$ thì tồn tại một đối số ${y_n} \ge {x_0},\;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f({y_n}) = f({x_0})$ sao cho $f({x_n}) = f({y_n})$ . (dpcm) [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] thay đổi nội dung bởi: beut, 15-01-2019 lúc 06:07 PM |