Xem bài viết đơn
Old 03-02-2018, 12:36 AM   #2
blackholes.
+Thành Viên+
 
blackholes.'s Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Trà Vinh
Bài gởi: 189
Thanks: 174
Thanked 107 Times in 70 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hung.vx View Post
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả $a^2+b^2+c^2\ge a+b+c$. Chứng minh rằng
$$a^3+b^3+c^3+\frac{8}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4.$$
Ta có:
$$ \frac{\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )^{3}}{\left ( a+b \right )(b+c)(c+a)} \geq \frac{27}{8}\left ( \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c} \right )^6$$

Sử dụng AM-GM:
$$a^{3}+b^{3}+c^{3}+\frac{8}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}= \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}+\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3 }}{3}+\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}+\frac{8}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}$$
$$\geq 4\sqrt[4]{\frac{8\left ( a^{3} +b^{3}+c^{3}\right )^{3}}{27\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}}\geq 4\sqrt[4]{\frac{8}{27}.\frac{27\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{6}}{8\left ( a+b+c \right )^{6}}}\geq 4 $$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Life is suffering

thay đổi nội dung bởi: blackholes., 03-02-2018 lúc 12:41 AM
blackholes. is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
 
[page compression: 10.97 k/12.18 k (9.98%)]