Xem bài viết đơn
Old 31-01-2012, 10:31 AM   #33
ThangToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 570
Thanks: 24
Thanked 537 Times in 263 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ThangToan View Post
tôi xin trình bày nhận xét 4 mà nhiều người quan tâm như sau
với mọi dãy $\[\left( {{x_n}} \right)\]
$ sao cho $\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = a\]
$ ta sẽ chứng minh $\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {{x_n}} \right) = f\left( a \right)\]
$ thật vậy
tồn tại số nguyên dương k đủ lớn sao cho
$\[a - \frac{1}{n} \le {x_n} \le a + \frac{1}{n},\forall n \ge k\]
$ [1]
Hôm trước tôi có đưa lời giải nhận xét này lên nhưng bị nhầm ở dòng in đậm ở trên. Sau đây tôi xin trình bày lời giải hoàn chỉnh cho nhận xét này như sau:
Đặt $\[{u_n} = \sup \left\{ {{u_n},{u_{n + 1}},...} \right\};{v_n} = {\rm{inf}}\left\{ {{u_n},{u_{n + 1}},...} \right\}\] $. Khi đó ta có $limu_n; lim v_n $ lần lượt là giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy $(x_n) $ nên $\[\lim {u_n} = \lim {v_n} = a\] $.
Ta dễ thấy dãy $(u_n) $ là một dãy giảm, còn dãy $(v_n) $ là một dãy tăng và bất đẳng thức sau:
$\[{v_n} \le {x_n} \le {u_n};\forall n \in {\mathbb{^*N}}\] $ (1)
Do $f $ là một hàm tăng nên ta có:
$f(v_n)\le f(x_n)\le f(u_n); \forall n\in \mathbb{N^*} $ (2)
Do dãy $(u_n) $ là dãy giảm, bị chặn và $f $ là hàm tăng nên dãy số $f(u_n) $ là dãy giảm, bị chặn nên tồn tại $lim f(u_n)=b $. Mặt khác do $f $ là toàn ánh nên tồn tại $z $ sao cho $f(z)=b $. Từ đó ta được:
$\[\lim f\left( {{u_n}} \right) = f\left( z \right);f\left( {{u_n}} \right) \ge f\left( z \right) \Rightarrow {u_n} \ge z \forall n\in \mathbb{N^*}\] $ (3)
Do dãy $(v_n) $ là dãy tăng, bị chặn và $f $ là hàm tăng nên dãy số $f(v_n) $ là dãy tăng, bị chặn nên tồn tại $lim f(v_n)=c $. Mặt khác do $f $ là toàn ánh nên tồn tại $t $ sao cho $f(t)=c $. Từ đó ta được:
$\[\lim f\left( {{v_n}} \right) = f\left( t \right);f\left( {{v_n}} \right) \le f\left( t \right) \Rightarrow {v_n} \le t \forall n\in \mathbb{N^*}\] $ (4)
Mặt khác $f(v_n)\le f(u_n); \forall n\in \mathbb{N^*} $ nên chuyển qua giới hạn ta được:
$\[f\left( z \right) \ge f\left( z \right) \Rightarrow z \ge t\] $ (5)
Từ (3), (4), (5) ta được:
$\[{v_n} \le t \le z \le {u_n}\] $
chuyển qua giới hạn ta được $z=t=a $ suy ra được:
$\[\lim f\left( {{u_n}} \right) = \lim f\left( {{v_n}} \right) = f\left( a \right)\] $ (6)
Từ (2) và (6) và theo nguyên lí kẹp ta được:
$\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {{x_n}} \right) = f\left( a \right)\]
$
Do đó một hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $ là toàn ánh, tăng thì liên tục.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
ThangToan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
 
[page compression: 9.93 k/10.97 k (9.45%)]