Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

babyteen9x · 03-11-2017, 02:30 PM

Xét hàm số $f(x)=\dfrac{1}{\sin^nx}$ trên $(0;\,\pi)$ có
\[f^{"}\left( x \right) = \frac{{n\left( {n + 1} \right){{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^{n + 2}}x}} + \frac{n}{{{{\sin }^n}x}} > 0\quad\forall\,x\in (0;\,\pi)\]
Vậy, $f(x)$ là hàm lồi trên $(0;\,\pi )$ nên theo bất đẳng thức tiếp tuyến ta có
\[\begin{array}{l}
f\left( A \right) \ge f\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + f'\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\left( {A - \frac{{A + B}}{2}} \right)\\
f\left( B \right) \ge f\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + f'\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\left( {B - \frac{{A + B}}{2}} \right)
\end{array}\]
Cộng lại sẽ có được
\[\frac{{f\left( A \right) + f\left( B \right)}}{2} \ge f\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \frac{1}{{{{\sin }^n}\frac{{A + B}}{2}}} = \frac{1}{{{{\cos }^n}\frac{C}{2}}}\]
Tương tự rồi cộng lại sẽ có điều cần chứng minh.

03-11-2017, 02:30 PM	#3
babyteen9x +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2010 Bài gởi: 8 Thanks: 4 Thanked 1 Time in 1 Post	Xét hàm số $f(x)=\dfrac{1}{\sin^nx}$ trên $(0;\,\pi)$ có \[f^{"}\left( x \right) = \frac{{n\left( {n + 1} \right){{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^{n + 2}}x}} + \frac{n}{{{{\sin }^n}x}} > 0\quad\forall\,x\in (0;\,\pi)\] Vậy, $f(x)$ là hàm lồi trên $(0;\,\pi )$ nên theo bất đẳng thức tiếp tuyến ta có \[\begin{array}{l} f\left( A \right) \ge f\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + f'\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\left( {A - \frac{{A + B}}{2}} \right)\\ f\left( B \right) \ge f\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + f'\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\left( {B - \frac{{A + B}}{2}} \right) \end{array}\] Cộng lại sẽ có được \[\frac{{f\left( A \right) + f\left( B \right)}}{2} \ge f\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \frac{1}{{{{\sin }^n}\frac{{A + B}}{2}}} = \frac{1}{{{{\cos }^n}\frac{C}{2}}}\] Tương tự rồi cộng lại sẽ có điều cần chứng minh.