[hung.vx]

Một hướng tiếp cận bài 7.

Trước hết ta có một số nhận xét sau:

1. Có tất cả là $n^{25}$ cách tô màu tất cả các ô của mảnh giấy ( kể cả giống nhau do quay và lật).
2. Phép lật ngược mảnh giấy được xem như là phép đối đối xứng của hình vuông (bao gồm phép đối xứng ngang dọc hoặc phép đối xứng chéo).
3. Một số mảnh giấy có thể tự xoay hoặc tự đối xứng thành chính nó và tất cả các mảnh giấy được chia thành $8$ trường hợp sau:
   1. Quay được $90^0$ và đối xứng được: Trường hợp này có tất cả là $x_1=n^6$ cách tô màu và mỗi chúng xuất hiện đúng $1$ lần.
   2. Quay được $90^0$ và không đối xứng được: Trường hợp này có tất cả là $x_2=n^7-n^6$ cách tô màu và mỗi chúng xuất hiện đúng $2$ lần.
   3. Quay $180^0$ và đối xứng ngang hoặc dọc (không quay $90^0$): Trường hợp này có tất cả là $x_3=n^8-n^6$ cách tô màu và mỗi chúng xuất hiện đúng $2$ lần.
   4. Quay $180^0$ và đối xứng chéo (không quay $90^0$): Trường hợp này có tất cả là $x_4=n^9-n^6$ cách tô màu và mỗi chúng xuất hiện đúng $2$ lần.
   5. Quay $180^0$ và không đối xứng (không quay $90^0$): Trường hợp này có $x_5\leq n^{13}-n^7$ cách tô màu và mỗi chúng xuất hiện đúng $4$ lần.
   6. Không quay được nhưng đối xưng ngang hoặc dọc: Trường hợp này có tất cả là $x_6\leq n^{14}-n^8$ cách tô màu và mỗi chúng xuất hiện đúng $4$ lần.
   7. Không quay được nhưng đối xứng chéo: Trường hợp này có tất cả là $x_7\leq n^{15}-n^9$ cách tô màu và mỗi chúng xuất hiện đúng $4$ lần.
   8. Không quay và không đối xứng: Đây là những cách tô màu còn lại, có tất cả là $x_8=n^{25}-x_1-x_2-x_3-x_4-x_5-x_6-x_7$ cách tô màu và mỗi chúng xuất hiện đúng 8 lần.

Vậy số cách tô màu thỏa mãn yêu cầu bài toán là
$$S=x_1+\frac{x_2+x_3+x_4}{2}+\frac{x_5+x_6+x_7}{4 }+\frac{x_8}{8}=\frac{n^{25}+x_7+x_6+x_5+3x_4+3x_3 +3x_2+7x_1}{8}$$
$$\leq \frac{n^{25}+n^{15}+n^{14}+n^{13}+2n^9+2n^8+2n^7-2n^6}{8}\leq\frac{n^{25}+4.n^{15}+n^{13}+2n^7}{8}. $$


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]