[n.v.thanh]

Chắc hẳn mọi người đã biết đến bài toán số 6 trong kì IMO năm vừa qua. Bài toán hình học duy nhất của cả kì thi, nó được phải biểu như sau

Cho tam giác $ABC $ nhọn nội tiếp đường tròn $\mathcal T $, $\ell $ là một tiếp tuyển bất kì của đường tròn ngoại tiếp. Gọi $ \ell_{a},\ell_{b},\ell_{c} $ là 3 đường thẳng tương ứngđối xứng với $\ell $ qua ba cạnh $BC,CA,AB $. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba đường thẳng $\ell_{a},\ell_{b},\ell_{c} $ tiếp xúc với $(\mathcal T) $

Thầy dạy hình của mình đã nhận xét rằng :" Kỳ lạ là từ trước đến giờ hình học của tam giác đã được nghiên cứu gần như đến cùng rồi mà lại sót lại một viên ngọc còn hoang sơ chưa ai biết đến để làm đề IMO như vậy, đúng là không gì là không thể trong hình học! " .
Và tất nhiên nó ngay lập tức bị tấn công theo nhiều hướng.Mọi người có thể xem lời giải cũng như bình luận về bài toán tại IMO 2011 Pro 6.
Hoặc xem lời giải chính thức trong file đính kèm 2011_imo_final6.pdf .


Theo mình thấy thì có lẽ bài này được xây dựng từ một bài hình trong kì thi toán của Iran (sau khi đọc comment của Naoki Sato trên MathLinks). Với nội dung khá gần, mà chính bài Iran này cũng là một bổ đề đề giải bài toán này.

Cho tam giác nhọn ABC và một đường thẳng bất kì $\ell $ .Dựng các đường thẳng đối xứng với $\ell $qua các cạnh $BC,CA,AB $. Chúng cắt nhau tạo thành tam giác $A'B'C' $. Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác $A'B'C' $ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC $.

Với một bài toán hình học như vầy, ngay sau khi,thậm chí trước khi giải chúng đã có những người đưa ra mở rộng của nó.Dưới đây là một số mở rộng của bài toán này.

Mở rộng 1 (T. Trần Quang Hùng)

Cho tam giác $ABC $ và một điểm $P $. Một đường thẳng bất kì qua P cắt $(PBC),(PCA),(PAB) $ một lần nữa tại $P_a,P_b,P_c $. Gọi $\ell_a,\ell_b,\ell_c $là các tiếp tuyến của $(PBC),(PCA),(PAB) $ tương ứng tại $P_a,P_b,P_c $. Chứng minh rằng tam giác tạo bởi $\ell_a,\ell_b,\ell_c $ tiếp xúc với đường tròn $(ABC) $.

Chú ý khi $P\equiv H $ thì ta được bài IMO.

.

Mở rộng 2 (Nguyễn Văn Linh)

Cho tam giác $ABC $ nội tiếp $(O) $. Một đường tròn $(O') $ tiếp xúc với $(O) $. $P $ là điểm bất kì trên $(O) $. $PA,PB,PC $ cắt $(O') $ tại $A_1,B_1,C_1. $ Gọi $A_2B_2C_2 $ là tam giác tạo bởi ba đường thẳng đối xứng với $A_1B_1 $ qua $AB $, $B_1C_1 $ qua $BC $ và $C_1A_1 $ qua $CA $. Chứng minh rằng $(A_2B_2C_2) $ tiếp xúc với $(ABC) $

Chú ý, Cho $P $ trùng với $I $ và tiếp tục cho $A_1,B_1,C_1 $ trùng với I ta mới được bài toán IMO

Mở rộng 3 (oneplusone MathLinks)

Tam giác ABC và XYZ là hai tam giác với chung đường tròn ngoại tiếp. Đường thằng $\ell_{xa},\ell_{xb},\ell_{xc} $ là ba đường thẳng đối xứng với YZ qua BC,CA,AB. $\mathcal T_x $ là đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi $\ell_{xa},\ell_{xb},\ell_{xc} $. Tương tự xác định $\mathcal T_y,\mathcal T_z $ .Chứng tỏ rằng $\mathcal T_x, \mathcal T_y,\mathcal T_z $ cùng đi qua một điểm chung.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]