Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Thảo luận tính chất hình học của điểm Miquel

**mathandyou** · 22-07-2014, 09:14 AM

Bài 11:
Cho $\Delta ABC$ có $AB<BC<CA$ nội tiếp $(O)$ và ngoại tiếp $ (I)$. Trên các tia $AB,AC$ lần lượt lấy $D,E$ sao cho $AD=AE=BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $(O)$ tại $F$. Dựng hình bình hành $BICJ$ và gọi $K$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$. Chứng minh:
a) $FA=FB+FC$
b) $F,J,K$ thẳng hàng.

Bài 12:Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn tâm $O$ đi qua $A,C$ cắt $AB, AC$ tại $K, N$. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $KBN$ cắt nhau tại $B,M$. Chứng minh $OMB$ vuông.

Bài 13:
Cho tam giác $ABC$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Một đường tròn tâm $P$ đi qua hai điểm $B$ và $C$ và gọi $Q$ là đường tròn tiếp xúc ngoài với $P$ tại $T$ và tiếp xúc trong với hai cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $U$ và $V$. Chứng minh rằng hai tứ giác $BTIU$ và $CTIV$ nội tiếp

Bài 14:
Tứ giác $ABCD$ là tứ giác lồi ,$M,N$ lần lượt là trung điểm hai đường chéo $AC,BD$.Gọi $M_1,M_2,M_3,M_4,N_1,N_2,N_3,N_4$ là 8 hình chiếu của $M,N$ trên lần lượt $4$ cạnh $AB,BC,CD,DA.$
Chứng minh rằng 8 điểm này thuộc cùng một đường tròn khi và chỉ khi $ABCD$ là tứ giác nội tiếp và điều hòa

Bài 15:
Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ bất kì nằm trong tam giác.$PA,PB,PC$ cắt các cạnh $BC,CA,AB$ tại các điểm $A',B',C'$.
a) Chứng minh rằng : $(AB'C'),(BC'A') và (CA'B')$ có một điểm chung.
Gọi nó là điểm $Q$.
b) Giả sử $AA',BB',CC'$ không đi qua $Q$.Chứng minh rằng $(AQA'),(BQB'),(CQC')$ có điểm chung khác $Q$.

22-07-2014, 09:14 AM	#8
mathandyou Moderator Tham gia ngày: Dec 2012 Đến từ: HCMUS Bài gởi: 557 Thanks: 259 Thanked 402 Times in 216 Posts	Bài 11: Cho $\Delta ABC$ có $AB<BC<CA$ nội tiếp $(O)$ và ngoại tiếp $ (I)$. Trên các tia $AB,AC$ lần lượt lấy $D,E$ sao cho $AD=AE=BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $(O)$ tại $F$. Dựng hình bình hành $BICJ$ và gọi $K$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$. Chứng minh: a) $FA=FB+FC$ b) $F,J,K$ thẳng hàng. Bài 12:Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn tâm $O$ đi qua $A,C$ cắt $AB, AC$ tại $K, N$. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $KBN$ cắt nhau tại $B,M$. Chứng minh $OMB$ vuông. Mình nghĩ bài này có hướng tiếp cận theo điểm Miquel Bài 13: Cho tam giác $ABC$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Một đường tròn tâm $P$ đi qua hai điểm $B$ và $C$ và gọi $Q$ là đường tròn tiếp xúc ngoài với $P$ tại $T$ và tiếp xúc trong với hai cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $U$ và $V$. Chứng minh rằng hai tứ giác $BTIU$ và $CTIV$ nội tiếp Bài 14: Tứ giác $ABCD$ là tứ giác lồi ,$M,N$ lần lượt là trung điểm hai đường chéo $AC,BD$.Gọi $M_1,M_2,M_3,M_4,N_1,N_2,N_3,N_4$ là 8 hình chiếu của $M,N$ trên lần lượt $4$ cạnh $AB,BC,CD,DA.$ Chứng minh rằng 8 điểm này thuộc cùng một đường tròn khi và chỉ khi $ABCD$ là tứ giác nội tiếp và điều hòa Bài 15: Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ bất kì nằm trong tam giác.$PA,PB,PC$ cắt các cạnh $BC,CA,AB$ tại các điểm $A',B',C'$. a) Chứng minh rằng : $(AB'C'),(BC'A') và (CA'B')$ có một điểm chung. Gọi nó là điểm $Q$. b) Giả sử $AA',BB',CC'$ không đi qua $Q$.Chứng minh rằng $(AQA'),(BQB'),(CQC')$ có điểm chung khác $Q$. Một topic liên quan đến Miquel :http://forum.mathscope.org/showthrea...ghlight=miquel __________________ Xét cho cùng, phần thưởng cao quý nhất mà công việc mang lại không phải là thứ bạn nhận được, mà nó vẽ nên chân dung con người bạn ra sao. [Only registered and activated users can see links. ]